W pewnej rodzinie ojciec daje każdemu ze swoich 5 synów w dzień ich urodzin począwszy od 5 roku życia tyle książek w prezencie ile dany syn kończy lat. Wiadomo przy tym że liczby wyrażające wiek każdego z nich tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3 natomiast ich wspólny zbiór ksiązek liczy 325 woluminów. Ile lat ma każdy z synów?

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-01-09T00:37:15+01:00
Każdy z 5 braci jest o 3 lata starszy od młodszego, więc obecnie mają:
x
x+3
x+6
x+9
x+12

w dniu każdych urodzin, począwszy od 5 włącznie, otrzymuje tyle książek ile kończy lat - w tej sytuacji każdy gromadzi taką ilość książek, jaką stanowi suma ciągu arytmetycznego, w którym a₁ = 5, an = wiek obecny, r = 1

ilość wyrazów takiego ciągu to różnica wieku obecnego minus 5 ale trzeba dodać 1 by doliczyć wyraz pierwszy

podstawiając do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu Sn = n*(a₁+an)/2 otrzymamy dla każdego z braci następujące sumy zebranych książek:
(x-5+1)*(5+x)/2
(x+3-5+1)*(5+x+3)/2
(x+6-5+1)* (5+x+6)/2
(x+9-5+1)* (5+x+9)/2
(x+12-5+1)* (5+x+12)/2

Teraz tworzymy równanie na sumę wszystkich książek:
(x-4)*(5+x)/2 + (x-1)*(8+x)/2 + (x+2)* (11+x)/2 + (x+5)* (14+x)/2 + (x+8)* (17+x)/2 = 325

i rozwiązujemy mnożąc na początek opie strony *2:
(x-4)*(5+x) + (x-1)*(8+x)+ (x+2)* (11+x)+ (x+5)* (14+x) + (x+8)* (17+x) = 650

po wymnożeniu i uporządkowaniu otrzymujemy równanie:
5x² + 65x -450= 0
x² + 13x - 90= 0
Δ = 529
√Δ = 23
x₁ = -18 - odrzucamy
x₂ = 5

więc najmłodszy ma 5 lat, a starsi: 8, 11, 14, 17 lat