Odpowiedzi

2010-01-07T22:00:51+01:00
Zakladamy ze sqrt(3) jest liczba wymierna
sqrt(3)=p/q
Liczby p i q sa calkowite, ponadto przyjmujemy ze sa wzglednie pierwsze
Podnosimy do kwadratu obie strony p^2/q^2=3 , stad 3q^2=p^2. Poniewaz lewa strona podzielna jest przez 3 wiec prawa takze zatem p=3k , keZ. Po podstawieniu i uproszczeniu otrzymujemy q^2=3k^2. Rozumujac jak poprzednio q=3l , leZ , po podstawieniu i uproszczeniu 3l^2=k^2
Otrzymalismy w ten sposob sprzecznosc gdyz liczby p i q maja wspolny podzielnik a na poczatku zostalo przyjete ze sa wzglednie pierwsze, zatem sqrt(3) jest niewymierna.
2010-01-07T22:02:46+01:00
Rozważmy wielomian W(x)=x³-5
jego pierwiastkiem jest liczba ∛5
ale z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych wiemy,że jeśli ma on pierwiastki wymierne, to mogą to być tylko liczby ze zbioru {-5;-1;1;5}
ale ∛5 nie jest równy żadnej z tych liczb, co oznacza,że jest on liczbą niewymierną