A) Dany jest ciąg arytmetyczny :
-4 , -1 , 2 , 5 , 7 ...
Ile początkowych wyrazów tego ciągu daje w sumie 2996 ?

b) W ciągu arytmetycznym a4 = -3 , a23 = 125 . Wyznacz a1 i r

c) Wyznacz x wiedząc że liczby
x-4 , 2x , 4x-2
tworzą kolejne wyrazy ciągu geometrycznego

2

Odpowiedzi

2010-01-08T01:13:46+01:00
A) Dany jest ciąg arytmetyczny :
-4 , -1 , 2 , 5 , 7 ...
Ile początkowych wyrazów tego ciągu daje w sumie 2996 ?

r = a2 - a1 = a3-a2 = const r - różnica ciagu
r = -1 - (-4) = 2 -(-1 ) = (-1) + 4 = 2 + 1 = 3 = 3 = const.
r = 3
a1 = -4

ze wzoru na sumę n wyrazów ciagu oraz ze wzoru na n-ty wyraz ciagu obliczam n
an = a1 + (n-1)*r
Sn =( a1 + an):2*n = 2996
Sn = [(a1 + a1 + (n-1)*r]:2 *n = 2996
[2a1 + (n-1)*r]:2 *n = 2996 /*2
[ 2*(-4) + (n-1)] *n = 5992
[ -8 + n -1] *n = 5992
( n - 9)*n = 5992
n² -9n -5992 = 0
∆ = b² - 4ac
∆ = (-9)² -4*1*(-5992) = 81 + 23968= 24049
√∆= √20049 = ok.155
n1= (-b - √∆):2a = (9 - 155) : 2*1 = (-146) : 2 = -73 ( nie jest rozwiazaniem bo n musi być liczba dodatnia)

n2 =(-b + √∆):2a= (9 + 155) : 2*1 = 164 : 2 = 82

rozwiazaniem jest n= 82 liczby , których suma daje 2996

c) Wyznacz x wiedząc że liczby
x-4 , 2x , 4x-2
tworzą kolejne wyrazy ciągu geometrycznego
a1 = x-4
a2 = a1*q = 2x
a3 = a1*q² = 4x -2

Trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego spelniaja warunek:
a2² = a1*a3 (a2² ) - ozn. a2 wyraz do potęgi drugiej
(2x)² = (x-4)*(4x-2)
4x² = 4x² -2x - 16x+8
4x² - 4x² +18x = 8
18x = 8
x = 8 : 18
x = 4/9
Najlepsza Odpowiedź!
2010-01-08T03:25:24+01:00
Dany jest ciąg arytmetyczny :
-4 , -1 , 2 , 5 , 7 ...
Ile początkowych wyrazów tego ciągu daje w sumie 2996 ?

b) W ciągu arytmetycznym a4 = -3 , a23 = 125 . Wyznacz a1 i r

c) Wyznacz x wiedząc że liczby
x-4 , 2x , 4x-2
tworzą kolejne wyrazy ciągu geometrycznego

a)
Oczywiście błąd danych. Piątym elementem powinien być 8, a nie 7.
Ciąg arytmetyczny to taki, którego sąsiednie wyrazy różnią się o stałą wartość, zwaną różnica ciągu.
n-numer ostatniego wyrazu, które dają razem 2996
r=-1-(-4)=3
S=(a₁+a(n))*n/2
a(n)=a₁+(n-1)r, czyli
S=[a₁+a₁+(n-1)r]*n/2=a₁+(n-1)r*n/2
2S=(2a₁+rn-r)*n
2S=(2a₁-r)n+rn²
rn²+(2a₁-r)n-2S=0
r=3, a₁=-4, S=2996
3n²-11n-5992=0
Niestety to równanie nie przynosi rozwiązania, które jest liczbą naturalną.
Najbliższa spełniająca ten warunek to S=2921 lub S=3055, wtedy:
3n²-11n-2*2921=0
Δ=121+4*3*2*2921=70225
√Δ=265
n=(11+265)/(3*2)=46
Spr. S=(-4*2+45*3)*46/2=2921

b)
a(n)=a₁+(n-1)r, więc
a₄=a₁+3r=-3 => a₁=-3-3r
a₂₃=a₁+22r=125
-3-3r+22r=125
19r=128
r=128/19
a₁=-3-3*128/19=-441/19
Jakieś dziwaczne dane z Księżyca.

c)
Ciąg geometryczny to taki, który spełnia wzór
a(n)=q*a(n-1), q-iloraz ciągu, q<>0
U nas:
2x/(x-4) = (4x-2)/2x
4x²=2(2x-1)(x-4)
2x²=2x²-8x-x+4
9x=4
x=4/9

Spr.
4/9 - 4=-32/9
2*4/9=8/9
4*4/9-2=-2/9
q=8/(-32)=-1/4 lub inaczej q=-2/8=-1/4

Odp. x=4/9