Proszę pilnie o pomoc w zadaniach ( Podane dokladne obliczenia, co z kąd się wzieło itp) potrzebne na jutro. Egzamin w Lo dla doroslych.

1.Przekątna sześcianu ma dł.3cm. Oblicz
a)Pole owierzchni calkowitej
b)objętośc
2.Pole pow.całkowitej wynosi 24cm(3sześcienne). oblicz objetosc.
3.objetosc wynosi 216cm(szesciennych) oblicz polepow.calkowitej.
4.pole wynosi 36cm(3)oblicz dł.przekątnej.

Ostrosłup:
1.Wysokośc ostrosłupa prawidlowego trójkątnego wynosi 10cm, a wysokosc podstawy 2(pierwiastek z 3). oblicz pbjetosc bryly.
2.w ostroslupie czworokątnym prawidlowym krawędź podst. ma dł.4cm. a krawędż boczna z podstawą ma kat 45*, oblicz, objętośc i pole powierzchni calkowitej tego ostroslupa.

2

Odpowiedzi

2010-01-08T12:52:31+01:00
1) (zob. załącznik)
Rozważamy czerwony trójkąt. Wiemy, że przekątna ma długość 3cm. Niech a oznacza długość krawędzi sześcianu. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że b=√a²+a²=a√2. Stosując ponownie tw. Pitagorasa wyliczamy a:
a²+(a√2)²=3²
a²+2a²=9
3a²=9 i a>0 (jako długość) zatem a=3.
a) pole powierzchni całkowitej: PPC=6*Pole ściany sześcianu=6*3²=6*9=54
b) objętość V=a³=3³=27

2) PPC=24 ale PPC=6*a² czyli 24=6*a² a stąd a²=4 i a>0 czyli a=2 (dł krawędzi). V=a³=8

3) a³=216 stąd a=6
zatem PPC=6*6²=6³=216

4) PPC=36 czyli 6*a²=36 a stąd a²=6 czyli a=√6. Podobnie jak w załączniku opisujemy trójkąt, z tym, że teraz daną mamy tę "pionową" krawędź. b=a√2=√6√2=√12. Niech c oznacza długość przekątnej sześcianu. Znów z tw. Pitagorasa:
c²=a²+b²=6+12=18 i c>0 stąd c=√18


OSTROSŁUP
1) (zob. załącznik)
rozważamy trójkąt o bokach 2√3, a, a/2. Z tw. Pitagorasa wyliczamy a:
(2√3)²+(a/2)²=a²
12+a²/4=a² /*4
48+a²=4a²
3a²=48
a²=16 i a>0 stąd a=4
objętość V=Pole podstawy*wysokość ostrosłupa=(1/2*a*h)*10=((1/2)*4*2√3)*10=4√3*10=40√3

2) (zob. załącznik)
Potrzebujemy znać wysokość ostrosłupa. Rozważamy czerwony trójkąt o podstawie równej połowie długości boku podstawy ostrosłupa, czyli 2 (to jest mam nadzieję jasne :)). Zauważamy, że skoro kąt ma miarę 45 stopni i trójkąt jest prostokątny, to musi być równoramienny zatem wysokość H jest równa długości podstawy tego trójkąta, czyli H=2.
Objętość V=Pole podstawy*H=a²*2=4²*2=16*2=32
Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej potrzebujemy jeszcze znać pole jednej ściany bocznej ostrosłupa. W tym celu wyliczamy jej wysokość h (bo podstawa jest dana, a=4). Z tw. Pitagorasa:
H²+2²=h² czyli 2²+2²=h² a stąd h²=8 i h>0 czyli h=√8.
Pole powierzchni całkowitej PPC=Pole podstawy+4*Pole ściany bocznej=a²+4*((1/2)*a*h)=4²+4*((1/2)*4*√8)=16+4*2√8=16+8√8
Najlepsza Odpowiedź!
2010-01-08T14:44:33+01:00
1.Przekątna sześcianu ma dł.3cm. Oblicz
a)Pole owierzchni calkowitej
b)objętośc
2.Pole pow.całkowitej wynosi 24cm(3sześcienne). oblicz objetosc.
3.objetosc wynosi 216cm(szesciennych) oblicz polepow.calkowitej.
4.pole wynosi 36cm(3)oblicz dł.przekątnej.

Ostrosłup:
1.Wysokośc ostrosłupa prawidlowego trójkątnego wynosi 10cm, a wysokosc podstawy 2(pierwiastek z 3). oblicz pbjetosc bryly.
2.w ostroslupie czworokątnym prawidlowym krawędź podst. ma dł.4cm. a krawędż boczna z podstawą ma kat 45*, oblicz, objętośc i pole powierzchni calkowitej tego ostroslupa.


Zadanie 1
a. obliczamy pole powierzchni całkowitej
aby ją można było wyliczyć trzeba znać długość krawędzi podstawy
możemy ją obliczyć korzystając z wzoru na długość przekątnej sześcianu którą określa wzór d=a*V3 V3- pierwiastek drugiego stopnia z 3
z danych podanych w zadaniu wiemy, że dł przekątnej wynosi 3 cm
3=a*V3 z tego a=3:V3
musimy zlikwidować pierwiastek z mianownika a zrobimy to poprzez pomnożenie licznika i mianownika przez V3
a=3*V3/V3*V3
a=3*V3/3
a=V3 cm
Teraz możemy przystąpić do obliczenia pola powierzchni całkowitej
wiemy, że sześcian ma razem 6 scian, które są kwadratami
wobec tego pole jednej ściany to a2 (do kwadratu) P=a2 a ponieważ jest ich 6 wzór ma postać
Pc=6*a2
po podstawieniu otrzymamy
Pc=6*(V3)2
Pc=6*3
Pc=18 cm sześciennych
b. Obliczamy objętość kożystając z wzoru
V=a3 a3 - a do potęgi trzeciej
p0dstawiamy wyliczone wcześniej a=V3
i otrzymujemy
V=(V3)3
V=V3*V3*V3
V=3V3 cm sześ

punkt 2 zadania pierwszego
Dana jest powierzchnia całkowita Pc= 24 cm2 kwadratowe
Korzystamy z wzoru
Pc=6*a2
Podstawiamy dane i otrzymujemy
24=6*a2
a2=24:6
a2=4
a=2 cm
teraz obliczamy objętość
V=a3
V=2*2*2
V=8cm sześ

punkt 3 zad.1

w zadaniu podaną mamy objętość i wynosi ona V=216 cm sześ aby obliczyć pole powierzchni całkowitej musimy znowu obliczyć dł krawędzi bocznej
korzystamy ze wzoru
V=a3
216=a3
a= pierwiastek trzeciego stopnia z 216
a=6 cm
pole powierzchni całkowitej
Pc=6*a2
Pc=6*(6)2
Pc=6*36
Pc=216 cm2
Punkt 4 zad.1
nie jest sprecyzowane czy chodzi tu o pole powierzchni całkowitej czy o pole podstawy i jaką długość przekątnej sześcianu czy podstawy
wobec tego zrobimy obie ewentualności
a. Pole powierzchni całkowitej wynosi 36 cm2
wzór Pc=6*a2
36=6*a2
a2=6
a=V6 cm pierwiastek z sześciu
długość przekątnej sześcianu
d=a*V3
podstawmy dane
d=V6*V3
d=V6*3
d=V18 (pierwiastek z 18)
d=V9*2
d=3V2cm (trzy pierwiastki z dwóch)

druga ewentualność jeśli chodzi o długość przekątnej kwadratu czyli podstawy to możemy ją obliczyc z wzoru d=aV2
Podstawiamy
d=V6*V2
d=V12 (pierwiastek z 12)
d=V4*3
d=2V3 cm (dwa pierwiastki z trzech)

OSTROSłUP

zad1
Jest to ostrosłup trójkątny prawidłowy czyli podstawą jest trójkąt równoboczny
aby obliczyć jego objętość musimy znac dlugość krawędzi podstawy.
Z tego że podstawa jest trójkatem równobocznym wiemy że wysokość je możemy obliczyć korzystając z wzoru
h=a*V3/2
wiemy, że h=2V3
podstawiamy do wzoru
2V3=a*V3/2 mnożymy obustronnie przez 2 i otrzymujemy
4V3=a*V3 z tego a=4V3/V3
czyli a=4cm
teraz obliczamy objętość ostrosłupa
V=(1/3)*Pp*H
gdzie H-wys ostrosłupa; Pp - pole podstawy Pp=(1/2)a*h
podstawiamy dane
V=(1/3)*(1/2)4*2V3*10
V=(40/3)*V3 cm sześ

Zad.2
z warunków zadania możemy wysunąć nastepujące wnioski
podstawą tego ostrosłupa jest kwadrat, Mamy daną dł. krawądzi podstawy. Możemy wyliczyc długość przekątnej ze wzoru d=aV2 czyli d= 4V2
Wiemy również, że krawędż boczna tworzy z podstawą kąt 45 st. Wiemy także, że wysokość ostrosłupa dzieli przekątne w podstawie na równe części jedna ma wartość 2V2 (dwa pierwiastki z dwóch)
z tego,że krawędź boczna tworzy z podstawą kat 45 st wynika że mamy do czynienia z trójkątem prostokątnum równoramiennym uutworzonym przez krawędź boczną, wysokość i połowę przekątnej. wysokość tego ostrosłupa ma długość 2V2
możemy teraz wyliczyć objętość
korzystając z wzoru
V=(1/3)*Pp*h
V=(1/3)*4*4*2V2
V=1/3*32V2
V=32/3*V2