Wykaż, że odcinki łączące środki kolejnych boków dowolnego czworokąta tworzą równoległobok.

Wiem, jak zrobić rys. do zadania i jak wykazać różne zachodzące tam proporcje i równości, ale nie wiem, co konkretnie mam udokumentować.

1

Odpowiedzi

2009-04-04T12:40:06+02:00
Przypuścmy że mam czworokat ABCD poprowadzmy w nim przekatną BD która dzieli ten czworokat na dwa trojkaty o równych podstawach. Jak wiemy odcinek laczacy środki sąsiednich boków trójkata jest równoległy do trzciego boku. Z tego mozemy zapisac ze suma wektorów ½BA+½AD opisujacych odcinek laczacy srodki boków AB i AD w trojkacie ABD jest równoległa do przekatnej czworokatna BD. Podobnie robimy z drugim trojkatem BDC. Suma wektorów ½DC+½CB opisujacych odcinek laczacy srodkowe bokow DC i CB w trojkacie BDC jest rownoległy do trzeciego boku a zarazem przekatnej czworokata BD. Skoro oba odcinki laczace srodkowe w trojkatach BAD i BDC so rownolegle do przekatnej BD to sa takze rownolegle do siebie i tworza one pierwsza pare bokow rownoleglych. Nastepnie prowadzimy druga przekatna w czworokacie ktora dzieli go na dwa trojkaty ADC i ABC ze wspolna podstawa AC i postepujemy tak samo jak poprzednio w wyniku czego okazuje sie ze odcinki laczace srodkowe w tych trojkatach sa rownolegle to przekatnej AC wiec sa rowniez rownolegle do siebie i otrzymujemy druga pare bokow rownoleglychi w wyniku czego wykazujemy ze odcinki laczace srodki kolejnych bokow w czworokacie tworza rownoleglobok.

Mam nadzieje ze napisalem to w miare zrozumiale:)