1. Dla jakich parametrów a i b wielomiany W(x)=(x²-4)² i Q(x)=x^4+(a+3)x³+bx²+16 są równe ?

2. Wiedząc że liczba (-1) jest pierwiastkiem wielomianu P(x)x³-4x²+x+6, znajdz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

3. Nie wykonując dzielenia wykaż, że wielomian W(x)=x³+4x²+x+6 jest podzielny przez dwumian P(x)=x+2


Jeśli do jutra popołudnia zadanie nie będzie całe dam pkt dla tego kto zrobi 2 i tłumacząc je :)

2

Odpowiedzi

2010-01-08T20:50:10+01:00
W(x) =(x² - 4)² = x⁴ - 8x² + 16
Q(x) = x⁴ +(a+3) x³ +bx² + 16
a+3 = 0 ---> a = -3
b = -8
Odp. a = -3, b = -8
z.2
P(x) = x³ -4x² + x + 6
ponieważ (-1) jest pierwiastkiem P(x) zatem można podzielić
P(x) przez (x +1) .Otrzymamy
P(x) = (x² -5x +6)(x+1)
x² - 5x +6 = 0
Δ = 25 - 4*6 = 1
√Δ = 1
x2 =[5-1]/2 = 4/2 = 2
x3 =[5+1]/2 = 6/2 = 3
Odp.Pierwiastki tego wielomianu to
x1 = -1, x2 = 2, x3 = 3
z.3
W(x) = x³ +4x² +x +6
P(x) = x + 2
Jeżeli W(x) jest podzielny przez P(x) = x+2 , to znaczy że
liczba (-2) jest pierwiastkiem wielomianu W(x)
Sprawdzamy
W(-2) = (-2)³ +4* (-2)² + (-2) + 6 =
= -8 + 4*4 - 2 + 6 = -10 +22 = 12 ≠ 0
Okazuje się , że wielomian W(x) nie jest podzielny przez
dwumian x+2
2010-01-08T20:50:49+01:00
1.
Wielomiany są równe, jeśli mają ten sam najwyższy stopień i współczynniki przy odpowiednich potęgach są równe:
Oba są 4 stopnia. Sprawdzam współczynniki.
W(x)=x⁴-8x²+16
Q(x) =x⁴+(a+3)x³+bx²+16
Współczynniki stopnia 4 i wyrazu wolnego (st.zerowego) są równe
St.3: a+3=0, skąd a=-3
St.2: b=-8

2.
P(x)=x³-4x²+x+6
-1 jest pierwiastkiem wielomianu, co można sprawdzić P(-1)=0
Skoro tak, to P(x) dzieli się bez reszty przez (x+1).
Po podzieleniu otrzymujemy: Q(x)=x²-5x+6
Wielomian Q(x) ma pierwiastki wyliczone przy pomocy Δ
x=3 lub x=2.
Spr.
P(3)=3³-4*3²+3+6=0
P(2)=2³-4*2²+2+6=0
Odp. x=3 lub x=2

3.
W(x)=x³+4x²+x+6 jest podzielny przez P(x)=x+2, jeśli pierwiastek dwumianu P(x) jest również pierwiastkiem W(x).
Pierwiastkiem P(x) jest -2, bo P(-2)=0
W(-2)=(-2)³+4(-2)²+(-2)+6=-8+16-2+6=12
W(x) nie jest podzielny przez P(x), bo W(-2)≠0
Podejrzewam tu błąd danych. Gdyby W(x) miał wzór x³+4x²+x-6, to byłby podzielny.
Można zresztą sprawdzić metoda dzielenia.

1 5 1