1. Rozłóż wielomian na czynniki (skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia):
a) (x+3)² + 2(x+3)+1=
b) (x2- 6)³ – 8 =


2.Rozłóż wielomian 4x –³ 8x² + 3x -6 na czynniki, a następnie określ, dla jakich wartości x wielomian ten przyjmuje wartości ujemne.


3. Pewien cukiernik układa pączki w piramidy. Liczba pączków w piramidzie o n warstwach wynosi:
⅓ n³ + ½ n² + ⅙ n
a) Rozłóż ten wielomian na czynniki. Oblicz z ilu pączków zbudowana jest piramida o 12 warstwach.
b) Uzasadnij, że liczba pączków w piramidzie, która ma n+1 warstw, jest o (n+1)² większa od liczby pączków w piramidzie o n warstwach.

2

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-01-09T14:14:24+01:00
1. Rozłóż wielomian na czynniki (skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia):
a) (x + 3)² + 2(x + 3) + 1 = [(x + 3) + 1]² = (x + 4)² = (x + 4)(x + 4)
b)
(x2- 6)³ – 8 = (2x - 6)³ - 2³ = [(2x - 6) - 2][(2x - 6)² + 2(2x - 6) + 4] = (2x - 8)(4x² - 24x + 36 + 4x - 12 + 4) = 2(x - 4)(4x² - 20x + 28) = 8(x - 4)(x² - 5x + 7)
Δ = 25 - 28 < 0
(x²- 6)³ – 8 = (x² - 6)³ - 2³ = [(x² - 6) - 2][(x² - 6)² + 2(x² - 6) + 4] = (2x - 8)(x³ - 12x² + 36 + 4x² - 12 + 4) = 2(x - 4)(x³ - 8x² + 28)


2.Rozłóż wielomian 4x –³ 8x² + 3x -6 na czynniki, a następnie określ, dla jakich wartości x wielomian ten przyjmuje wartości ujemne.

4x³ - 8x² + 3x - 6 = 4x²(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(4x² + 3)
(4x² + 3) > 0 zawsze
(x - 2) < 0 => x < 2

w(x) < 0 <=> x < 2

3. Pewien cukiernik układa pączki w piramidy. Liczba pączków w piramidzie o n warstwach wynosi:
⅓ n³ + ½ n² + ⅙ n
a) Rozłóż ten wielomian na czynniki. Oblicz z ilu pączków zbudowana jest piramida o 12 warstwach.

⅓ n³ + ½ n² + ⅙ n = ⅙n(2n² + 3n + 1)
Δ = 9 - 8 = 1
n₁ = (- 3 - 1)/4 = - 1
n₂ = (- 3 + 1)/4 = - 0,5
⅙n(2n² + 3n + 1) = n(n + 0,5)(n + 1)/3

W(12) = 12(12 + 0,5)(12 + 1)/3 = 12 * 12,5 *13/3 = 4 * 12,5 * 13 = 50 * 13 = 650

b) Uzasadnij, że liczba pączków w piramidzie, która ma n + 1 warstw, jest o (n+1)² większa od liczby pączków w piramidzie o n warstwach.

W(n + 1) - W(n) = (n + 1)((n + 1) + 1/2)((n + 1) + 1)/3 - n(n + 1/2)(n + 1)/3 = (n + 1)(n + 1,5)(n + 2)/3 - n(n + 1/2)(n + 1)/3 = (n + 1)/3[(n + 2)(n + 1,5) - n(n + 0,5)] = (n + 1)/3[n² + 3,5n + 3 - n² - 0,5n] = (n + 1)(3n + 3)/3 = (n + 1)²


jak czegoś z tego nie rozumiesz pisz na pw
2010-01-09T18:21:40+01:00
Zad.1.
a) (x+3)²+2(x+3)+1=[(x+3)+1]²=(x+4)²
b) (2x-6)³-8=[(2x-6)-2][(2x-6)²+(2x-6)×2+4]=
=(2x-8)(4x²-24x+36+4x-12+4)=(2x-8)(4x²-20x+28)

Zad.2.
4x³-8x²+3x-6=4x²(x-2)+3(x-2)=(4x²+3)(x-2)
wielomian ten przyjmuje wartości ujemne dla x∈(-∞,2)

Zad.3.
a)⅓n³+½n²+⅙n=⅙n(2n²+3n+1)=⅓n(n+1)(n+½)
⅓×12(12+1)(12+½)=4×13×12,5=650
Odp.: 650 pączków ma piramida złożona z 12 warstw.
b)W(n + 1) - W(n) = ⅓(n+1)[(n+1)+½][(n+1)+1]-⅓n(n+½)(n + 1) =⅓(n+1)(n+3/2)(n+2)-⅓n(n+½)(n+1) =⅓(n+1)[(n+2(n+3/2)-n(n+½)] = ⅓(n+1)(n²+7/2n+3-n²-½n) =⅓(n + 1)(3n + 3) =⅓×3(n + 1)(n + 1) =(n + 1)²