Odpowiedzi

2010-01-09T18:17:52+01:00
Zad1
Sprawdz, ktora z podanych liczb jest pierwiastkiem wielomianu W(x), a następnie znajdż pozostłe pierwiastki.
W(x)=x³+4x²+x-6
1, -2

W(1)=1+4+1-6=0
w(-2)=-8+16-2-6=0

(x²+5x+6)(x-1)=x³+4x²+x-6
Δ=25-24=1

x₁=(-5-1)/2=-3
x₂=(-5+1)/2=-2

(x+3)(x+2)(x-1)=x³+4x²+x-6

Rozwiąż rownanie
a) x³-3x²+2x=0

x(x²-3x+2)=0
Δ=9-4*2=9-8=1
x₁=(3-1)/2=1
x₂=(3+1)/2=2
x₃=0

b) x³-x²+9x-9=0
x²(x-1)+9(x-1)=0
(x²+9)(x-1)=0
x-1=0 V x²+9=0
x=1 v x²=-9 sprzeczność

c) x₄+3x²-4=0
niech t=x²

t²+3t-4=0
Δt=9-4*(-4)=9+16=25
√Δ=5

t₁=(-3-5)/2=-4
t₂=(-3+5)/2=1

-4=x² <- sprzeczność v 1=x² => x=1



2010-01-09T18:17:53+01:00
W(1)=0
Pierwiastkiem jest 1.

1 4 1 -6
1 5 6 0

W(x)/(x-1)=x²+5x+6

Δ=25-24=1

x₁=-3
x₂=-2


b)
1.
x³-3x²+2x=0
x(x²-3x+2)=0
x1=0

Δ=9-8=1
x2=1
x3=2

2.
x³-x²+9x-9=0
x²(x-1)+9(x-1)=0
(x²+9)(x-1)=0
x1=1

3.
x⁴+3x²-4=0
x²=t>=0

t²+3t-4=0
Δ=25
t1=-4<0
t2=1>0

x²=1
x1=1 x2=-1
2010-01-09T18:31:33+01:00
W(x)=x³+4x²+x-6
x = 1
W(1) = 1 + 4 + 1 - 6 = 0
liczba 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu
W(x)=x³+4x²+x-6 = (x-1)(x²+5x+6)=

x²+5x+6
a=1, b=5, c=6
Δ = b²-4ac=25-24=1
x₁=(-b+√Δ)/2a = (-5+1)/2=-4/2=-2
x₂=(-b-√Δ)/2a = (-5-1)/2=-6/2=-3
x²+5x+6=(x+2)(x+3)
czyli
W(x)=x³+4x²+x-6 = (x-1)(x²+5x+6)=(x-1)(x+2)(x+3)
Pierwiaskami tego wielomianu są liczby: 1, -2 i -3

a) x³-3x²+2x=0
x(x² - 3x +2) = 0
x² - 3x +2 = 0
a=1, b=-3, c=2
Δ = b²-4ac = 9 - 8 = 1
x₁=(-b+√Δ)/2a = (3 + 1)/2 = 2
x₂=(-b-√Δ)/2a = (3-1)/2=1

x(x-2)(x-1) = 0
iloczyn liczb jest = 0, gdy jedna z nich jest = 0
czyli
x=0 lub x-2=0 lub x-1=0
x³-3x²+2x=0 <=> x=0 lub x=2 lub x=1

b) x³-x²+9x-9=0
x²(x-1)+9(x-1)=0
(x-1)(x²+9)=0
x-1 =0 lub x²+9=0
x³-x²+9x-9=0 <=> x=1

c) x⁴+3x²-4=0
stosuję podstawienie: x² = t
t² + 3t -4 =0
a=1, b=3, c=-4
Δ = b²-4ac = 9 +16 = 25
√Δ = √25 = 5
t₁=(-b+√Δ)/2a = (-3+5)/2=1
t₂=(-b-√Δ)/2a = (-3-5)/2=-4
wracając do x:
x₁² = 1 <=> x = 1 lub x=-1
x₂² = -4 <=> x∈Ф

x⁴+3x²-4=0 <=> x = 1 lub x=-1