Odpowiedzi

  • Roma
  • Community Manager
2010-01-10T12:06:26+01:00
Dany trójkąt równoramienny prostokątny, czyli
a - przyprostokątne
b - przeciwprostokątna
O - obwód trójkąta
P - ple trójkąta

a) jego obwód jest równy 6( 1 + √ 2 )

Z tw. Pitagorasa (bo Δ jest prostokątny)
b² = a² + a²
b² = 2a²
b = a√2
O = 6(1 + √ 2) (z treści zadania)
O = 2a + b
2a + a√2 = 6(1 + √2)
a(2 + √2) = 6 + 6√2 /: (2 + √2)
a = 6 + 6√ 2 / 2 + √2
P = ½*a*a =½*a²
P = ½ (6 + 6√2 / 2 + √2)² = ½ [(6 + 6√2)² / (2 + √2)²] = ½ (36 + 72√2 + 36*2 / 4 + 4√2 + 2) = ½ (108 + 72√2 / 6 + 4√2) = ½ [36(3 + 2√2) / 2(3 + 2√2)] = ½ (36 / 2) = ½ *18 = 9
Odp. Pole trójkąta równa się 9.

b) jego przeciwprostokątna jest o 1 + √2 dłuższa od przyprostokątnej.
b = a + 1 + √2

Z tw. Pitagorasa (bo Δ jest prostokątny)
b² = a² + a²
b² = 2a²
b = a√2
b = a + 1 + √2 ( z treści zadania)
a√2 = a + 1 + √2
a√2 - a = 1 + √2
a(√2 - 1) = 1 + √2 /: (√2 - 1)
a = 1 + √2 /√2 - 1
P = ½*a*a =½*a²
P = ½ (1 + √2 /√2 - 1)² = ½ [(1 + √2)²/(√2 - 1)²] = ½ (1 + 2√2 + 2 / 2 - 2√2 + 1) = ½ (3 + 2√2 / 3 - 2√2) = ½ [(3 + 2√2)(3 + 2√2 / (3 - 2√2)(3 + 2√2)] = ½ (9 + 6√2 + 6√2 + 8 / 9 - 8) = ½ ( 17 + 12√2 / 1) = 17/2 + 6√2
Odp. Pole trójkąta wynosi 17/2 + 6√2



Jeśli te dane potraktujemy jako jedno zadanie wtedy mamy:
b = a + 1 + √2
O = 6( 1 + √ 2 )
O = 2a + b
2a + a + 1 + √2 = 6(1 + √2)
3a = 6 + 6√2 - 1 - √2
a = 5 + 5√2
P = ½ a*a
P = ½*(5 + 5√2)(5 + 5√2) =½(25 + 25√2 + 25√2 + 25*2) = ½(25 + 50√2 + 50) = ½(75 + 50√2) = 37½ + 25√2
Odp. Pole trójkąta wynosi 37½ + 25√2
7 4 7