Odpowiedzi

  • Użytkownik Zadane
2010-01-10T22:58:25+01:00
Sin α +cos α = √2
Wiemy też że dla każdego kąta mamy
sin²α + cos²α =1

Musimy rozwiązać układ równań
sin²α + cos²α =1
sin α +cos α = √2

Z drugiego równania mamy że sinα = √2 - cosα
Podstawiamy to do pierwszego równania i mamy do rozwiązania równanie kwadratowe
(√2 - cosα)² + cos²α = 1
(√2)² - 2√2cosα + cos²α + cos²α =1
2 - 2√2cosα + cos²α + cos²α - 1 = 0
2cos²α - 2√2cosα + 1 = 0
delta = (-2√2)² - 4*2*1 = 8 - 8 = 0

cosα=[-(-2√2)]/[2*2]=[2√2]/4 = [√2]/2

zatem mamy odpowiednio
sinα= √2 - [√2]/2 = [2√2 - √2]/2 = [√2]/2

sin α * cos α =
[√2]/2 * [√2]/2 = [(√2)*(√2)]/[2*2] =
[(√2)²]/4 = 2/4 = 1/2

Mam nadzieję że nigdzie się nie kopsnęłam ze znakiem, jest już trochę późno :) Jakby coś się nie zgadzało daj znać poprawię :)
13 3 13
  • Roma
  • Community Manager
2010-01-10T23:04:50+01:00
Sin α + cos α = √2 /² (obie strony równania podnosimy do 2 potęgi)
(sin α + cos α)² = (√2)²
sin²α +2sin α*cos α + cos²α = 2
sin²α +cos²α + 2sin α*cos α = 2
1 + 2sin α*cos α = 2
2sin α*cos α = 2 - 1
2sin α*cos α = 1 /:2
sin α*cos α = ½

(ze związku między funkcjami trygonometrycznymi sin²α +cos²α = 1)
24 4 24