Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-01-11T19:47:20+01:00
Dla dowolnych liczb naturalnych a i b zachodzi następująca równość:

(*) a * b = NWD(a,b) * NWW(a,b)

Stąd:
NWD(a,b) = a * b / NWW(a,b) = 2028 / 156 = 13

Teraz jeszcze wytłumaczenie, dlaczego zawsze zachodzi równość (*)

Otóż, każdą liczbę naturalną można przedstawić jednoznacznie w formie iloczynu liczb pierwszych..

n = d1 * d2 * d3 * ... * dk

Zatem, mając dane liczby a i b przedstawiamy je w formie iloczynu liczb pierwszych:

a = a1 * a2 * ... * ak
b = b1 * b2 * ... * bl

Teraz szukamy pewnych liczb (czynników), które występują w obu liczbach a i b.

Iloczyn tych liczb oznaczamy jako d. Będzie to największy wspólny dzielnik.

Pozostałe czynniki w zapisach obu liczb wymnażamy i dostajemy coś takiego:
a = d * x
b = d * y

Najważniejsze w tym wszystkim jest to, że liczby x i y są względnie pierwsze (czyli NWD(x,y) = 1)

W takim układzie NWD(a,b) = d
oraz NWW(a,b) = d * x * y

Teraz mamy:
NWD(a,b) * NWW(a,b) = d * d * x * y = d * x * d * y =
= (d * x) * (d * y) = a * b

Przykład:
a = 24
b = 90

a = 2 * 2 * 2 * 3
b = 2 * 3 * 3 * 5

d = 2 * 3
a = (2 * 3) * 2 * 2
b = (2 * 3) * 3 * 5

x = 2 * 2 = 4
y = 3 * 5 = 15

a = 6 * 4
b = 6 * 15

NWD(24,90) = 6
NWW(24,90) = 6 * 4 * 15 = 360

10 4 10