1. Model samolotu na lince o dł. 5m zakreśla okrąg o promieniu 4m. Modelarz trzyma koniec linki na wysokości 1,5m i obraca się wokół własnej osi. Dłoń modelarza zakreśla okrąg o promieniu 50 cm. Na jakiej wysokości krąży samolot?

2. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba (100^(n+1)+4*10^(n+1)+4)/9 jest kwadratem liczby naturalnej.

1

Odpowiedzi

2010-01-12T11:09:43+01:00
MOGE CI POMOC W DRUGIM ZADANKU BO TO BYLO W GAZECIE ;)

1/9(100^(n+1)+4*10^(n+1)+4) = 1/9((10^2)^{n+1)+4*10^(n+1)+4) = ((10^(n+1))^2+2*2*10^(n+1)+2^2)/3^2 = (z wzoru na kwadrat sumy) = [(10^(n+1)+2)/3]^2.

Dla dowodu wystarczy więc wykazać, że wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest liczbą całkowitą (łatwo widać, że jest dodatnie, więc będzie liczbą naturalną). Pokażemy indukcyjnie, że liczba 10^(n+1)+2 jest podzielna przez 3.

Dla n=1 mamy L=10^2+2=102=3*34 jest podzielna przez 3. Załóżmy, że teza zachodzi dla n, tzn. liczba 10^(n+1)+2 jest podzielna przez 3. Pokażemy, że teza zachodzi dla n+1, tzn. liczba 10^{n+2)+2 jest podzielna przez 3:

10^{n+2)+2 = 10^(n+1)*10+2*10-2*10+2 = 10*(10^(n+1)+2)-18 = (z założenia indukcyjnego) = 3*k-18 = 3*(k-6).

Ponieważ liczba k jest całkowita, więc k-6 jest także całkowita i teza indukcyjna zachodzi. Spełnione są więc założenia twierdzenia o indukcji zupełnej. Na mocy tego twierdzenia liczba 10^(n+1)+2 jest podzielna przez 3 dla każdego naturalnego n.
Stąd (10^(n+1)+2)/3 jest całkowita i jako dodatnia jest naturalna, a liczba 1/9(100^(n+1)+4*10^(n+1)+4) jest kwadratem tej liczby naturalnej.

POZDRAWIAM