3. Ze zbioru {x∈Z: |x|≤50 } losujemy bez zwracania 2 liczby a i b. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowane liczby a i b spełniają nierówność:
(a-1)(b-1)(a²-1)(b²-1)...(a¹⁰⁰²-1)(b¹⁰⁰²-1)>0
odp:
a) 50/101
b) 49/101
c) <1/2
d) 49/101 * 98/100
Może być więcej niż jedna poprawna, proszę o rozwiązanie wraz z uzasadnieniem. z góry dzieki:)

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-01-12T18:59:55+01:00
W pierwszej kolejności zbadajmy znak następującej funkcji:
f(x) = (x-1)(x²-1)...(x¹⁰⁰²-1) dla argumentów x∈{-50, -49, ..., 49, 50}

Gdy x > 1, to wszystkie czynniki są dodatnie, zatem f(x) > 0
Gdy x = 1, to f(x) = 0
Gdy x = 0, to każdy czynnik jest równy -1, skoro liczba cyznników to 1002, zatem ich iloczyn jest dodatni: f(0) = 1
Gdy x = -1, to f(x) = 0, bo (x²-1) = 1 - 1 = 0

Gdy x < -1, to co drugi czynnik jest ujemny (te z potęgami nieparzystymi), a co drugi jest dodani (te z potęgami parzystymi). Wtedy cały iloczyn jest ujemny, bowiem liczba czynników ujemych to 501, czyli jest nieparzysta

Zatem podsumujmy:
f(x) > 0 <=> x>1 lub x=0 (50 możliwych wartości)
f(x) = 0 <=> x=1 lub x=-1 (2 możliwe wartości)
f(x) < 0 <=> x<-1 (49 możliwych wartości)

W zadaniu losujemy 2 liczby (a i b) i chcemy aby wyrażenie: f(a) * f(b) było dodatnie.
Aby to osiągnąć, wartości f(a) oraz f(b) muszą być albo obie dodatnie, albo obie ujemne. Czyli liczby a i b muszą wpaść do tego samego przedziału wartości (albo do tych 50 wartości, które dają f(x)>0, albo do tych 49 wartości, które dają f(x)<0)

Wszystkich możliwych wyników losowań mamy tyle, co wybór 2 liczb ze zbioru 101 elementowego (bo od -50 do 50 jest 101 liczb)
Jest ich zatem 101 * 100 / 2 = 101 * 50 = 5050
Układów takich, że obie f(a) i f(b) są dodatnie jest:
50 * 49 / 2 = 25 * 49 = 1225
Układów takich, że obie f(a) i f(b) są ujemne jest:
49 * 48 / 2 = 49 * 24 = 1176

Czyli w sumie 'dobrych' układów mamy 1225 + 1176 = 2401

Zatem p-wo, że f(a)*f(b) > 0 to:
2401 / 5050 = 49 * 49 / (50 * 101) = (49 / 101) * (98 / 100)

A zatem odpowiedź d jest poprawna, bo p-wo wyszło dokładnie tyle, ile było w odpowiedzi d
Poza tym c też jest dobra, bo wyliczone p-wo jest mniejsze od 1/2