Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-01-14T00:35:37+01:00
A = (-1;-3)
B = (1;5)
C = (6;4)
D = ?
AB = AD oraz BC = DC
D = (x,y)
IAB I² = (1 +1)² + (5+3)² = 2²+8² = 4 + 64 = 68
I AD I² = (x+1)² + (y + 3)²
I BC I² = (6-1)² + (4-5)² = 25 + 1 = 26
I DC I = (6 - x)² + (4- y)²

x² + 2x +1 + y² + 6y + 9 = 68
36 - 12x +x² + 16 - 8y + y² = 26

x² +2x + y² + 6y = 58
x² -12x + y² - 8y = -26

2x + 12 x + 6y + 8y = 84
14x + 14y = 84
x + y = 6 ---> y = 6 - x
x² + 2x + ( 6-x)² + 6*(6 - x) = 58
x² + 2x + 36 - 12x + x² + 36 - 6x = 58
2x² -16x + 72 = 58
2x² - 16x + 14 = 0
x² - 8x + 7 = 0
Δ = 64 - 4*7 = 64 - 28 = 36
√Δ = 6
x1 = [8 -6]/2 = 1
x2 = [8 +6]/2 = 7
y1 = 6 - 1 = 5
y2 = 6 - 7 = -1
D = (1;5) = B - odpada
D = (7; -1)
Odp. D = ( 7; -1)


7 5 7
2010-01-14T00:47:51+01:00
Trzy wierzchołki deltoidu ABCD mają współrzędne A=(-1,-3) B=(1,5) C=(6,4). Oblicz współrzędne czwartego wierzchołka.
Deltoid to czworokąt złożony z dwóch trójkątów równoramiennych złączonych podstawami, czyli zakładamy, że jest wypukły. Taki swoisty latawiec...
Obliczam długości boków
AB=√[(-1-1)²+(-3-5)²=√(4+64)=√68
BC=√[(1-6)²+(5-4)²=√(25+1)=√26
AB≠BC, więc zadanie ma rozwiązanie (gdyby B był wierzchołkiem jednego z trójkątów równoramiennych, to można by było jedynie określić półprostą, na której leżałby 4 wierzchołek deltoidu).
AB nie może być przekątną, bo wtedy czworokąt nie byłby wypukły (dobrze jest naszkicować rysunek).
Wierzchołek D(x,y) jest położony symetrycznie do punktu B względem przekątnej AC, bo przekątna AC dzieli drugą przekątna BD na połowę i przekątne są do siebie prostopadłe.
Zadanie proponuję rozwiązać następująco:
1) wyznaczyć równanie prostej AC
2)wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do AC i przechodzącej przez B
3) znaleźć punkt przecięcia S
4) wyznaczyć wektor SD równy wektorowi BS, czyli znaleźć D(x,y)

1)
y-4=[4-(-3)]/[6-(-1)] * (x-6)
y-4=x-6
y=x-2

2)
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do y=ax+b jest równy -1/a
u nas: -1
y=-x+b
B∈BD, więc 5=-1+b => b=6
Prosta szukana y=-x+6

3)
{y=x-2
{y=-x+6

x-2=-x+6
2x=8
x=4 => y=4-2=2
Mamy punkt przecięcia przekątnych S(4; 2)

4)
Wektory BS=SD
[4-1, 2-5] = [x-4, y-2]
x-4=3 => x=7
y-2=-3 => y=-1
D(7; -1)
Można punkt D wyznaczyć ze wzoru na środek odcinka BD:
(x+1)/2=4 oraz (y+5)/2=2

Odp. D(7; -1)

3 5 3