Odpowiedzi

  • Roma
  • Community Manager
2010-01-14T02:48:25+01:00
A=(-3,-4), B=(7,-4), C=(7,4)
|AB| = √(7+3)² + (-4+4)² = √10² + 0² = √100 = 10
|BC| = √(7-7)² + (4+4)² = √0² + 8² = √64 = 8
|AC| = √(7+3)² + (4+4)² = √10² + 8² = √100+64 = √164 = √4*41 = 2√41
Możemy sprawdzić, że |AC|² = |AB|² + |BC|²
(2√41)² = 10² + 8²
4*41 = 100 + 64
164 = 164, czyli ΔABC jest prostokątny, AC to przeciwprostokątna, AB i BC to przyprostokątne.
a) napisz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie
Środek okręgu opisanego na Δ prostokątnym leży na środku przeciwprostokątnej, która jest średnicą tego okręgu.
Aby napisać równanie okręgu opisanego na tym Δ prostokątnym musimy znaleźć współrzędne jego środka S(a,b) i promień.
r = ½|AC| = ½*2√41 = √41
Punkt S (środek okręgu) to środek przyprostokątnej AC.
Wiemy, że "współrzędne środka odcinka AB o końcach A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) to S = (x₁ + x₂/2, y₁ + y₂/2)" stąd
S = (-3+7/2, -4+4/2) = (4/2, 0/2) = (2, 0)
"Równanie okręgu o środku S = (a, b) i promieniu r: (x-a)² + (y-b)² = r²"
Szukane równie okręgu:
(x - 2)² + (y - 0)² = ( √41)²
(x - 2)² + y² = 41

b) określ wzajemne położenie znalezionego okręgu z okręgiem o równaniu x² + y² -12 x +6y +42 = 0
Okręgu z pkt a) (x - 2)² + y² = 41
S₁ = (2, 0)
r₁ = √41 ≈ 6,4
Równanie okręgu o środku S = (a, b) i promieniu r może mieć postać: (x-a)² + (y-b)² = r² lub x² + y² - 2ax - 2by + c = 0, gdzie r² = a² + b² - c > 0.

x² + y² -12 x +6y +42 = 0, czyli
S₂ = (6, -3)
r₂² = 6² + (-3)² - 42 = 36 + 9 - 42 = 45 - 42 = 3
r₂ = √3 ≈ 1,73

Aby sprawdzić położenie okręgów należy porównać odległość środków tych okręgów z sumą i różnicą długości promieni.
|S₁S₂| = √(6-2)² + (-3-0)² = √4² + (-3)² = √16 + 9 = √25 = 5
r₁ + r₂ ≈ 6,4 + 1,73 ≈ 8,13
|r₁ - r₂| ≈ |6,4 - 1,73| ≈ 4,67
czyli
|r₁ - r₂| < |S₁S₂| < r₁ + r₂ a to oznacza, że okręgi przecinają, tzn. mają dokładnie dwa wspólne.
5 3 5