Odpowiedzi

2009-09-27T18:32:44+02:00
A - krótsza przyprostokątna
b - dłuższa przyprostokątna

z treści wiemy, że kąty w trójkącie wynoszą:
90°, α oraz 2α

Kąty trójkąta zawsze wynoszą razem 180°, więc:
90° + α + 2α = 180°
3α = 90°
α = 30°

P = ab/2

b - a = 3 + √3
tgα = a/b = √3/3 => a = b√3/3

b - b√3/3 = 3 + √3
b(1 - √3/3) = 3 + √3
b[(3-√3)/3] = 3+√3 /:[(3-√3)/3]
b = 3+√3 * 3/(3-√3) = 3(3+√3)/(3-√3)
teraz sprowadzamy b do ładniejszego wyniku...
b = 3(3+√3)/(3-√3) = 3(3+√3)²/[(3-√3)(3+√3)] = 3(9+6√3+3)/(9-3) = 3(12+6√3)/6 = (12+6√3)/2 = 6 + 3√3

b = 6 + 3√3
b - a = 3 + √3 => a = b - 3 - √3 = 6 + 3√3 - 3 - √3 = 3 + 2√3

b = 6 + 3√3
a = 3 + 2√3

P = ab/2 = (6 + 3√3)(3 + 2√3)/2 = (18 + 12√3 + 9√3 + 18)/2 = (36 + 21√3)/2 = 18 + 10½√3