A) Na okręgu o promieniu 2 cm opisano trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 10 cm. Znajdź długość pozostałych boków.

b) Na okręgu o promieniu 2 cm opisano trójkąt prostokątny równoramienny. Oblicz obwód trójkąta.

Potrzebuje SAME obliczenia. BARDZO proszę o pomoc! Dziękuję!

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-01-17T07:10:35+01:00
Zadanie a)
Jeśli trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 10 cm jest opisany na okręgu, to okrąg jest styczny do boków tego trójkąta i promienie są prostopadłe do boków w punktach styczności.
Rysując te promienie (2cm), można zauważyć, że mamy parami przystające trójkąty prostokątne (są dwie pary takich trójkątów i kwadrat).
Przeciwprostokątna podzieli się na dwa odcinki,
oznaczmy je x i y czyli x+ y = 10 (mamy pierwsze równanie)
pierwsza przyprostokątna podzieli się na dwa odcinki x i r=2cm, czyli x + 2
druga przyprostokątna podzieli się na dwa odcinki y i r=2cm,
czyli y + 2
Korzystamy z tw. Pitagorasa i układamy drugie równanie
(x + 2)²+( y + 2)²=10²

Rozwiązujemy układ równań
{x+ y = 10
{(x + 2)²+( y + 2)²=10²

{x+ y = 10
{x²+ 4x + 4 + y² + 4y + 4 =100

{y = 10 -x
{x²+ 4x + y² + 4y = 92

{y = 10 -x
{x²+ 4x + (10 -x)² + 4*(10 -x) = 92

{y = 10 -x
{x²+ 4x + 100 -20x + x² + 40 - 4x = 92

{y = 10 -x
{2x² - 20x + 48 = 0 /:2

{y = 10 -x
{x² - 10x + 24 = 0

Rozwiązujemy drugie równanie
delta= 100 - 4*24 = 100 - 96 = 4
x1 = (10-2)/2 = 4 x2= (10+2)/2 = 6
y1 = 10 - 4 = 6 y2 = 10 - 6 = 4
pierwsza przyprostokątna x + 2= 4 + 2 = 6 (lub 6 +2 = 8)
druga przyprostokątna y + 2= 6 + 2 = 8 (lub 4 + 2 = 6)
Odp.
Pozostałe boki trójkąta prostokątnego mają długość 6cm i 8cm.

Zad. b)
Podobnie jak w zadaniu powyżej, ale x=y i r=2cm
Układamy równanie
(x + 2)²+( x + 2)²= (x+x)²
2(x + 2)² = 4x²
2(x²+ 4x + 4) = 4x²
2x²+ 8x + 8 = 4x²
- 2x²+ 8x + 8 = 0 /:(-2)
x² - 4x - 4 = 0
Rozwiązujemy równanie
delta= 16 - 4*(-4) = 16 + 16 = 32 = 2*16
x1 = (4 - 4√2)/2 x2= (4 + 4√2)/2
x1 = 2 - 2√2 (odrzucamy, bo x1<0) x2 = 2 + 2√2
Obliczamy obwód trójkąta L:
L = x + 2+ x + 2 + 2x = 4x + 4 = 4 * (2 + 2√2) + 4 = 8 + 8√2 + 4 =
12 + 8√2





















5 4 5