Funkcja kwadratowa f ma nastepujące własności: f(-3)= 0 oraz f(-1)=f(5)= 3
a) czy funkcja kwadratowa ma wartość najmniejszą czy największą, i dla jakiego argumentu jest ta wartość przyjmowana ?
b) Podaj najmniejszą i największą wartośc tej funkcji w przedziale domkniętym <5;7>

1

Odpowiedzi

2010-01-14T22:35:47+01:00
F(x) = ax^2 + bx + c

f(-3)= 0
9a-3b+c=0 (r1)

f(-1)=3
a-b+c=3 (r2)

f(5)= 3
25a+5b+c=3 (r3)


(r2)=(r3)
a-b+c=25a+5b+c
-24a=6
a=-0,25

wstawiam do (r1) i do (r2)
-2,25-3b+c=0
-0,25-b+c=3 (r4)

odejmuję równania stronami
-2,25+0,25-3b+b=-3
-2-2b=-3
2+2b=3
2b=1
b=0,5

wstawiam do (r4)
-0,25-0,5+c=3
-0,75+c=3
c=3,75

f(x)=-0,25x^2 +0,5x+3,75

ponieważ a < 0, więc funkcja posiada wartość największą q dla argumentu p, gdzie p i q są współrzędnymi wierzchołka paraboli

p=-b : (2a) = -0,5 :(-0,5)=1
q=f(p)
q=-0,25+0,5+3,75=4

funkcja przyjmuje wartość największą równą 4 dla argumentu równego 1.

b) Podaj najmniejszą i największą wartośc tej funkcji w przedziale domkniętym <5;7>

f(x)=-0,25x^2 +0,5x+3,75

ponieważ p=1 nie należy do przedziału, więc wierzchołka nie bierzemy pod uwagę.

f(5)=-0,25*25 + 0,5*5 + 3,75 = -6,25+2,5+3,75=0 - wartość największa dla argumentu 5
f(7)=-0,25*49 + 0,5*7 + 3,75 = -12,25+3,5+3,75=-5 - wartość najmniejsza dla argumentu 7
20 2 20