Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-01-15T23:07:36+01:00
2010-01-15T23:30:35+01:00
Musimy tylko pamiętać, że log_a b=c jest równoważne a^c=b

gdzie od teraz _liczba będę oznaczał podstawę, a x^y będę oznaczał x do potęgi y:
1 a)
log_2 √2=x <--> 2^x=√2
x=½

jeśli nie mamy nic w podstawie to znaczy, że tam jest 10:

1 b)
log_10 ∛10=x <---> 10^x=∛10
x=⅓

1 c)
log_½ 4=x <--> ½^x=4
x=-2

2 a)
log_3 x = -2

3^(-2)=x
x=1/9

2 b)
log_2 x²=2

2²=x²
x²=4

x=2 ub x=-2

2 c)

log_x 4=2

x²=4
x=2 lub x=-2

2 d)
log_x ¼=-1

x^(-1)=¼
x=4


3 a)
log_2 (log_10 100)
log_10 100 <--> 10^x=100
x=2

mamy więc:
log_2 2 = y <--> 2^y=2
y=1

więc:
log_2 (log_10 100)=1

3 b)
mamy wzór, który mówi, że:
log_x y / log_x z = log_z y

i teraz:
5^(log_10 5 / log_10 2,5)= 5^(log_2,5 5)
log2,5 5 <--> 2,5^x=5

x wychodzi w zaokrągleniu... a więc lepiej zostawić w tej postaci:
5^(log_2,5 5)

3 c)
√(10^[2+½log 16])

10^(a+b) można zapisać jako: 10^a*10^b i tak też zrobimy:
√(10^[2+½log 16])=√(10^2*10^½log 16])=10√(10^½log 16)

z wiedzy, że a^log_a b = b^log_a a mamy, że:
10^½log 16 = 16^½log_10 10 = 16^½*1=16^½=4

tak więc:
10√(10^½log 16)=10√4=20

3 d)
log_5 9 * log_27 25

zauważmy, że 9=3^2 oraz, że 27=3^3... mamy, z tego że:

log_5 9 * log_27 25 = log_5 3^2 * log_3^3 25

teraz na podstawie tego, że log_a^b c = 1/b * log_a c oraz z tego log_a b^c = c* log_a b:
2 * log_5 3 * ⅓ * log_3 25 = ⅔ * (log_5 3 * log_3 25)

mamy też wzór na to i wygląda on tak:

log_a b * log_b c = log_a c:

⅔ * (log_5 3 * log_3 25) = ⅔ * (log_5 25) = ⅔ * 2 = 1⅓

4)
log_9 20 = (1 + log 2)/(2*log 3)

prawa strona:
1=log 10

tak więc:
P = (log 10 + log 2)/(2*log 3) = (log 10 + log 2)/(log 3^2) = (log 10*2)/(log 9) = log(20)/log(9) = log_9 20 = L
co należało dowieść

5)
log_3 4 = a --- nasza prawda
log_2 9 --- chcemy obliczyć:

tak więc log_2 9 = log_2 3^2 = 2*log_2 3

teraz zastosujmy dziwną sztuczkę, ale patrzmy co się stanie:
2*log_2 3 = 4 * (½*log_2 3)

idźmy dalej:
4 * (½*log_2 3) = [(4 * (½*log_2 3))^-1]^-1 = [1/(4 * (½*log_2 3)]^-1

to co w nawiasie kwadratowym można łatwo zapisać jako:
1/a*b = 1/a * 1/b:
[1/4 * 1/(½*log_2 3)]^-1

skorzystajmy teraz z tego, że:
1/x*log_y z = log_y^x z:
[1/4 * 1/(log_4 3)]^-1

a mamy też wzór, że:
1/log_a b = log_b a:
[1/4 * log_3 4]^-1

a przecież od początku wiemy, że log_3 4 = a, tak więc:
[1/4 * log_3 4]^-1 = (¼*a)^-1 = 1/¼*a = 4/a

tak więc: log_2 9 = 4/a


6 a)
log_4 √2 + log_4 x = 2
log_4 (√2*x) = 2

4^2=√2*x
16=√2*x
x=16/√2=16√2/2=8√2

6 b)
log_2 [log_3 (x-1)]=1

pamiętajmy, że 1 = log_2 2:
log_2 [log_3 (x-1)]=log_2 2

musimy teraz porównać tylko części logarytmu:
log_3 (x-1)=2 <--> 3^2=(x-1)
9=x-1
x=10

7)
log_2 (x-2), log_2 (2x), log_2 (2x²) --- ciąg arytmetyczny

pamiętamy, że w ciągu arytmetycznym zachodzi własność:
a₁+r=a₂
a₂+r=a₃

rozłóżmy sobie jeszcze drugi i trzeci wyraz ciągu:
a₂ = log_2 (2x) = log_2 2 + log_2 x = 1 + log_2 x
a₃ = log_2 (2x²) = log_2 2 + log_2 x² = 1 + 2*log_2 x

obliczmy teraz "r" ze wzoru:
a₂+r=a₃
1 + log_2 x + r = 1 + 2*log_2 x
r = log_2 x

a teraz podstawmy "r" do wzoru "a₁+r=a₂" by wyliczyć "x":
log_2 (x-2) + log_2 x = log_2 (2x)
lox_2 (x*(x-2)) = log_2 (2x)
log_2 (x²-2x) = log_2 (2x)

x²-2x=2x
x²=4x /:x

(możemy podzielić na "x" bo od początku wiemy, że x≠0 z podstawienia do początkowych trzech wyrazów):
x=4

wyliczmy więc teraz a₁, a₂, a₃ i sprawdźmy czy to naprawdę ciąg dla x=4:
log_2 (x-2), log_2 (2x), log_2 (2x²)
log_2 (4-2), log_2 (2*4), log_2 (2*4²)
log_2 (2), log_2 (8), log_2 (32)
1, 3, 5
tak jest to ciąg i o różnicy r=2

b) by obliczyć dwunasty wyraz ciągu liczymy:
a₁+11r=1+11*2=1+22=23

c) by obliczyć sumę 12 początkowych wyrazów liczymy S_n:
S_n=(a₁+a_n)/2 * n
S_12=(1+23)/2 * 12
S_12=12 *12
S_12=144


i tak o to w łatwy sposób przeszliśmy przez wszystkie zadania :)