1. Rozwiąż układ równań: (x-y)/2 = 1/3
(x+y)/3 = 1/2
2. Które z liczb: ½, ⅓, 1, 0, -½, -⅓, -1 spełniają nierówność (x+1)² > x²-5
3. Czy z odcinków o długościach 3/7, 4/7, 5/7 można skontruować trójkąt prostokątny.
4. Miary dwóch kątów trójkąta są w stosunku 2:3. Wyznacz miary kątów tego trójkąta, jeśli trzeci z nich ma miarę 35 stopni.
5. Oblicz pole rombu, którego bok ma długość 2,5cm a jedna z przekątnych 4cm.
6. Dla jakicg argumentów funkcja y= -¾x + 2¼ przyjmuje wartości dodatnie?
7. Fabryka zaplanowała wykonać w ciągu miesiąca 852, a wykonała 1136 produktów. O ile procent przekroczyła plan?
8. Z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku wyznacz niewiadomą z równania 1,101 : x = 0,9009
9. Oblicz pole równoległoboku o kącie ostrym 45 stopni, jeżeli punkt przecięcia przekątnych równoległoboku jest odległy od jego boków o 8 i 12.
10. Proste o równaniach y= ⅔x - 4, y=2x + 4 przecinają osie układu współrzędnych w punktach A,B,C,D. Oblicz pole czworokąta ABCD.
11. Liczba sześciocyfrowa mająca dwie pierwsze cyfry 1, 0 ma ciekawą własność. Jeżeli przesuniemy w niej cyfrę jedności na początek, otrzymamy 4-krotność pierwotnej liczby. Co to za liczba?
Wszystkie te zadania są w załączniku.
Proszę o rozwiązanie jak największej ilości zadań;]

2

Odpowiedzi

2010-01-16T19:56:03+01:00
1. Rozwiąż układ równań:

(x-y)/2 = 1/3 |*2
(x+y)/3 = 1/2 |*3

Dodajemy stronami:
x - y + x + y = 2/3 + 3/2
2x = 2/3 + 3/2 |*6
12x = 4 + 9
12x = 13
x = 13/12

x + y = 3/2
y = 3/2 - 13/12 = 5/12

2. Które z liczb: ½, ⅓, 1, 0, -½, -⅓, -1 spełniają nierówność (x+1)² > x²-5

(x + 1)² > x² - 5
x² + 2x + 1 > x² - 5
2x > - 6
x > - 3

wszystkie (bo wszystkie są > - 3)

3. Czy z odcinków o długościach 3/7, 4/7, 5/7 można skonstruować trójkąt prostokątny.

3/7 < 4/7 < 5/7

(5/7)² = 25/49
(3/7)² + (4/7)² = 9/49 + 16/49 = 25/49

z tw. odwrotnego do tw. Pitagorasa można

4. Miary dwóch kątów trójkąta są w stosunku 2:3. Wyznacz miary kątów tego trójkąta, jeśli trzeci z nich ma miarę 35 stopni.

3α + 2α + 35° = 180°
5α = 145°
α = 29°

kąty:
35°
2α = 58°
3α = 87°

5. Oblicz pole rombu, którego bok ma długość 2,5cm a jedna z przekątnych 4cm.

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prodtym i w połowie długości.

z tw. Pitagorasa
x² = (2,5)² - 2²
x² = 6,25 - 4 = 2,25
x = 1,5

Przekątne tego rombu są wzajemnie prostopadłe stąd można zastosować w wzór na pole deltoidu (prawdziwy dla wszystkich czworokątów, których przekątne przecinają się pod kątem prostym).

P = dD/2
d = 4
D = 2x = 3
P = 4*3/2 = 6

6. Dla jakich argumentów funkcja y= -¾x + 2¼ przyjmuje wartości dodatnie?

y= -¾x + 2¼
-¾x + 2¼ > 0 |*4
- 3x + 9 > 0
3x < 9
x < 3

7. Fabryka zaplanowała wykonać w ciągu miesiąca 852, a wykonała 1136 produktów. O ile procent przekroczyła plan?

(1136 - 852)/852 = 33,(3) %

8. Z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku wyznacz niewiadomą z równania 1,101 : x = 0,9009

1,101 : x = 0,9009 |*x
1,101 x = 0,9009 x
11010/10000 = 9009/10000 x |*10000
11010 = 9009x
x = 11010/9009 ≈ 1,22

9. Oblicz pole równoległoboku o kącie ostrym 45 stopni, jeżeli punkt przecięcia przekątnych równoległoboku jest odległy od jego boków o 8 i 12.

a, b - boki
h, H - wysokości (odpowiednio na b i a)

Dla a wyjaśnienie na rysunku, dla b analogicznie:
a = h√2 = 16√2
b = H√2 = 24√2

P = aH/2 = 24*16√2 = 384√2

10. Proste o równaniach y = ⅔x - 4, y=2x + 4 przecinają osie układu współrzędnych w punktach A,B,C,D. Oblicz pole czworokąta ABCD.

y = ⅔x - 4
0 = ⅔x - 4 => x = 6
y = ⅔*0 - 4 => y = - 4

y = 2x + 4
0 = 2x + 4 => x = - 2
y = 2*0 + 4 => y = 4

Przekątne tego czworokąta należą do osi układu współrzędnych, więc są wzajemnie prostopadłe stąd można zastosować w wzór na pole deltoidu (prawdziwy dla wszystkich czworokątów, których przekątne przecinają się pod kątem prostym).

P = dD/2
d = 4 + 4 = 8
D = 2 + 6 = 8
P = 8*8/2 = 32

11. Liczba sześciocyfrowa mająca dwie pierwsze cyfry 1, 0 ma ciekawą własność. Jeżeli przesuniemy w niej cyfrę jedności na początek, otrzymamy 4-krotność pierwotnej liczby. Co to za liczba?

Ponieważ 1. cyfra to 1, to ostatnia to 4.

x - liczba złożona z trzech cyfr (3., 4. i 5.) szukanej liczby

4(100000 + 10x + 4) = 4000000 + 10000 + x
400000 + 40x + 16 = 4000000 + 10000 + x
39x = 9984
x = 256

100000 + 10x + 4 = 102564

w razie konieczności dokładniejszych wyjaśnień pisz na pw
2 5 2
2010-01-16T23:58:17+01:00
1. Rozwiąż układ równań:

(x-y)/2 = 1/3
(x+y)/3 = 1/2

x - y + x + y = 2/3 + 3/2
2x = 2/3 + 3/2

12x = 4 + 9
12x = 13
x = 13/12

x + y = 3/2
y = 3/2 - 13/12 = 5/12

2. Które z liczb: ½, ⅓, 1, 0, -½, -⅓, -1 spełniają nierówność (x+1)² > x²-5

(x + 1)² > x² - 5
x² + 2x + 1 > x² - 5
2x > - 6
x > - 3

wszystkie.

3. Czy z odcinków o długościach 3/7, 4/7, 5/7 można skonstruować trójkąt prostokątny.

3/7 < 4/7 < 5/7

(5/7)² = 25/49
(3/7)² + (4/7)² = 9/49 + 16/49 = 25/49

tak.

4. Miary dwóch kątów trójkąta są w stosunku 2:3. Wyznacz miary kątów tego trójkąta, jeśli trzeci z nich ma miarę 35 stopni.

3α + 2α + 35° = 180°
5α = 145°
α = 29°

2α = 58°
3α = 87°

5. Oblicz pole rombu, którego bok ma długość 2,5cm a jedna z przekątnych 4cm.

x² = (2,5)² - 2²
x² = 6,25 - 4 = 2,25
x = 1,5

P = (d1 * d2)/2
d1 = 4
d2 = 3
P = 4*3/2 = 6

6. Dla jakich argumentów funkcja y= -¾x + 2¼ przyjmuje wartości dodatnie?

y= -¾x + 2¼
-¾x + 2¼ > 0 |*4
- 3x + 9 > 0
3x < 9
x < 3

7. Fabryka zaplanowała wykonać w ciągu miesiąca 852, a wykonała 1136 produktów. O ile procent przekroczyła plan?

(1136 - 852)/852 = 33,3(3) %

8. Z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku wyznacz niewiadomą z równania 1,101 : x = 0,9009

1,101 : x = 0,9009 |*x
1,101 x = 0,9009 x
11010/10000 = 9009/10000 x |*10000
11010 = 9009x
x = 11010/9009 ≈ 1,22

9. Oblicz pole równoległoboku o kącie ostrym 45 stopni, jeżeli punkt przecięcia przekątnych równoległoboku jest odległy od jego boków o 8 i 12.

x = h√2 = 16√2
y = H√2 = 24√2

P = xH/2 = 24*16√2 = 384√2

10. Proste o równaniach y = ⅔x - 4, y=2x + 4 przecinają osie układu współrzędnych w punktach A,B,C,D. Oblicz pole czworokąta ABCD.

y = ⅔x - 4
0 = ⅔x - 4 => x = 6
y = ⅔*0 - 4 => y = - 4

y = 2x + 4
0 = 2x + 4 => x = - 2
y = 2*0 + 4 => y = 4

Przekątne tego czworokąta należą do osi układu współrzędnych, więc są wzajemnie prostopadłe stąd można zastosować w wzór na pole deltoidu (prawdziwy dla wszystkich czworokątów, których przekątne przecinają się pod kątem prostym).

P = d1d2/2
d = 4 + 4 = 8
D = 2 + 6 = 8
P = 8*8/2 = 32

11. Liczba sześciocyfrowa mająca dwie pierwsze cyfry 1, 0 ma ciekawą własność. Jeżeli przesuniemy w niej cyfrę jedności na początek, otrzymamy 4-krotność pierwotnej liczby. Co to za liczba?

4(100000 + 10x + 4) = 4000000 + 10000 + x
400000 + 40x + 16 = 4000000 + 10000 + x
39x = 9984
x = 256

100000 + 10x + 4 = 102564
1 5 1