Odpowiedzi

2010-01-16T18:07:13+01:00
F(x)=x/(x²+1)
liczymy pochodną:
f'(x)=[(x²+1)-2x²]/(x²+1)²=(1-x²)/(x²+1)²
Funkcja f może mieć ekstrema tylko w punktach, gdzie zeruje się jej pochodna.
f'(x)=0 <=> 1-x²=0 <=> (1-x)(1+x)=0 czyli x=1 lub x=-1
Funkcja jest rosnąca w przedziałach, w których pochodna jest większa od zera, a malejąca w przedziałach, w których pochodna jest mniejsza od zera.
f'(x)>0 <=> (x-1)(x+1)>0 <=> x∈(-∞,-1) lub x∈(1,∞)
f'(x)<0 <=> x∈(-1,1)
Wnioski:
funkcja f jest rosnąca w przedziale (-∞,-1), malejąca w (-1,1) i znów rosnąca w (1,∞), zatem w punkcie x=-1 f ma maksimum, a w x=1 minimum
Aby wyznaczyć punkty przegięcia musimy sprawdzić kiedy druga pochodna funkcji jest równa zero.
f''(x)=[-2x(x²+1)²-4x(x²+1)(1-x²)]/(x²+1)⁴=[-2x⁵-4x³-2x-4x+4x⁵]/(x²+1)⁴=[2x⁵-4x³-6x]/(x²+1)⁴
f''(x)=0 <=> 2x⁵-4x³-6x=0 <=> 2x(x⁴-2x²-3)=0 <=> 2x(x²-3)(x²+1)=0 <=> 2x(x-√3)(x+√3)(x²+1)=0 <=> x=0 lub x=√3 lub x=-√3 (3 punkty przegięcia)
f''(x)>0 gdy x∈(-√3,0) lub x∈(√3,∞) czyli funkcja jest w tych przedziałach wypukła
f''(x)<0 gdy x∈(-∞,-√3) lub x∈(0,√3) czyli funkcja jest w tych przedziałach wklęsła