Odpowiedzi

  • Roma
  • Community Manager
2010-01-18T01:41:57+01:00
"Układ równań liniowych jest układem Cramera, gdy macierz główna A jest macierzą nieosobliwą, czyli jej wyznacznik (det A) jest różny od zera".

( x + 3y + 3z = px
( 3x + y + 3z = py
( 3x + 3y + z = pz

( x - px + 3y + 3z = 0
( 3x + y - py + 3z = 0
( 3x + 3y + z - pz = 0

( (1 - p)x + 3y + 3z = 0
( 3x + (1 - p)y + 3z = 0
( 3x + 3y + (1 - p)z = 0

| 1-p 3 3 |
det A = | 3 1-p 3 | =
| 3 3 1-p|

= (1-p)(1-p)(1-p) + 3*3*3 +3*3*3 - 3*3*(1-p) - (1-p)*3*3 - 3*(1-p)*3 = (1-p)³+ 27 + 27 - 9*(1-p) - 9*(1-p) - 9*(1-p) = 1³ - 3*1²*p + 3*1*p² - p³ + 54 -9 + 9p - 9 + 9p - 9 + 9p = 1 - 3p + 3p² - p³ + 54 - 27 + 27p = - p³ + 3p² + 24p + 28
Musimy więc sprawdzić dla jakich p
det A = - p³ + 3p² + 24p + 28 ≠ 0
Rozwiążemy równanie wielomianowe: - p³ + 3p² + 24p + 28 = 0
Rozkładamy wielomian na czynniki, korzystając z tw. Bezouta: liczba r jest pierwiastkiem Wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x - r) oraz z tw. o wymiernych pierwiastkach "jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki wymierne, to są one dzielnikami wyrazu wolnego".

- p³ + 3p² + 24p + 28 = 0
ten wielomian ma współczynniki całkowite, więc jeśli ma pierwiastki to są to któreś dzielniki liczby 28, bo 28 to wyraz wolny
zb. dzielników to: D₂₈ = {-1, 1, -2, 2, -4, 4, -7, 7, -14, 14, - 28, 28}
Więc szukajmy:)
- p³ + 3p² + 24p + 28 = 0
W(-1) = 1 + 3 - 24 + 28 = 8 ≠ 0
W(1) = -1 + 3 + 24 + 28 = 54 ≠ 0
W(-2) = 8 + 12 - 48 + 28 = 0
(no i mamy jeden pierwiastek :)
p₁ = - 2
Teraz podzielimy dany wielomian przez dwumian (p + 2)

(- p³ + 3p² + 24p + 28) : (p + 2) = -p + 5p² + 14
+p³ + 2p²
_________
5p² + 24p + 28
-5p² - 10p
_________
14p + 28
-14p - 28
________
= =
Stąd
(- p³ + 3p² + 24p + 28) = 0
(p + 2) (-p + 5p² + 14) = 0
p + 2 = 0 lub -p + 5p² + 14 = 0

p + 2 = 0
p₁ = -2

-p + 5p² + 14 = 0
Δ = 5² - 4 * (-1) * 14 = 25 + 56 = 81
√Δ = √81 = 9
p₂ = -5 - 9 / 2*(-1) = -14/-2 = 7
p₃ = -5 + 9 / 2*(-1) = 4/-2 = -2

det A = - p³ + 3p² + 24p + 28 = 0 dla p₁ = -2 i p₂ = 7 tzn., że
det A = - p³ + 3p² + 24p + 28 ≠ 0 dla p ≠ -2 i p ≠ 7, czyli
dla p ∈ R \ {-2, 7}
1 4 1
2010-01-18T03:11:54+01:00
Dla jakich wartosci parametru p podany uklad jest ukladem cramera

x + 3y + 3z = px
3x + y + 3z = py
3x + 3y + z = pz

układ jest kramerowski, gdy W różne od 0
W-wyznacznik główny układu

x-px + 3y + 3z =0
3x + y-py + 3z = 0
3x + 3y + z-pz = 0

W=
I1-p 3 3
3 1-p 3
3 3 1-p I =(1-p)³+27+27-9(1-p)-9(1-p)-9(1-p)=1-3p+3p²-p³+54-27+27p=
3p²-p³+28+24p=-p³+3p²+24p+28
-p³+3p²+24p+28≠0
w(-2)=0
(-p³+3p²+24p+28):(p+2)=-p²+5p+14
p³+2p²
----------
5p²+24p+28
-5p²-10p
---------
14p+28
-14p-28
---------
====
-p²+5p+14=0
Δ=25+56=81
√Δ=9
p=7, p=-2

układ jest Cramerowski dla p≠-2 i p≠7
p∈R\{-2,7}

1 4 1