W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokości przeciwległych ścian bocznych, poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa są do siebie prostopadłe.
a) oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
b) jakim procentem objętości sześciany którego krawędź ma długość równą długości krawędzi podstawy danego ostrosłupa, jest objętość tego ostrosłupa.?

1

Odpowiedzi

2009-09-29T11:56:36+02:00
Jeśli oznaczę te wysikośc przez h, to mamy trójkąt prostokątny o bokach: h,h,h√2
jego wysokośc jest też wysokością bryły H=h√2/2
Trójkąt, w którym liczymy sinus ma przeciwprostokątną naprzeciw kąta =H
przy kącie = 1/2 przekątnej kwadratu=h oraz przeciwprostokątną x
x²=h²+H²
x²=(h√2/2)²+h²
x²=1/2h²+h²
x²=3/2h²
x=√3/2 h
x=√3/√2 *h
sinα=H/x
sinα=h√2/2 : √3/√2 *h
sinα=√2/2*√2 / √3
sinα=1/√3
sinα=√3/3
b) jakim procentem objętości sześciany którego krawędź ma długość równą długości krawędzi podstawy danego ostrosłupa, jest objętość tego ostrosłupa.?
V sześcianu=(h√2)³
V=2√2 h³
Vostrosłupa=1/3 Pp *H
V=1/3 (h√2)² * h√2/2
V=1/3 *2 h² * h√2/2
V=1/3 * h³√2
2√2 h³--100%
1/3 * h³√2--x

x= h³√2*100/3 :2√2 h³
x=50/3%
x=16 2,3%

3 3 3