Odpowiedzi

  • Roma
  • Community Manager
2010-01-20T09:49:09+01:00
I sposób - równanie ogólne funkcji kwadratowej, czyli należy znaleźć wzór funkcji y = ax² + bx + c

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:
x = -b/2a
y = -Δ/4a = -b²+4ac/4a
Δ = b²-4ac
Dana parabola ma współrzędne: (3, -7)
stąd
1.
-b/2a = 3 /*2a
-b = 6a /*(-1)
b = -6a
2.
-b²+4ac/4a = -7 /*4a
-b²+4ac = -28a
-(-6a)²+4ac + 28a = 0
-36a²+4ac + 28a = 0

Do wykresu funkcji y = ax² + bx + c należy punkt (5, 9) stąd
3.
9 = a(5)² + b*5 + c
25a + 5b + c = 9 (z zależności 1 wstawiamy za b = -6a)
25a + 5(-6a) + c = 9
25a - 30a + c = 9
-5a + c = 9
c = 5a + 9 (wstawiamy za c do zależności 2)

2.
-36a²+4ac + 28a = 0
-36a²+4a(5a + 9) + 28a = 0
-36a²+20a² + 36a + 28a = 0
-16a² + 64a = 0 /:(-16)
a² - 4a = 0
a(a - 4) = 0
a = 0 i a - 4 = 0
a = 0 i a = 4
a = 0 odrzucamy, bo wtedy otrzymalibyśmy funkcję liniową, czyli
a = 4
Wstawiamy do 1 i 3 za a liczbę 4 i obliczamy b i c
b = -6a
b = -6*4 = -24

c = 5a + 9
c = 5*4 + 9 = 20 + 9 = 29

Wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku w punkcie (3,-7) przechodząca przez punkt (5,9):
y = 4x² - 24x + 29

II sposób - równanie kanoniczne funkcji kwadratowej, czyli wzór funkcji y = a(x- p)² + q, gdzie p i q to współrzędne wierzchołka

Wykresem jest parabola o wierzchołku w punkcie (3,-7) przechodząca przez punkt (5,9), stąd po wstawieniu do wzoru otrzymujemy:
9 = a(5 - 3)² - 7
9 = a*2² - 7
4a - 7 = 9
4a = 9 + 7
4a = 16 /:4
a = 4
Równanie kanoniczne szukanej funkcji ma postać:
y = 4(x - 3)² - 7
Możemy go zapisać w postaci ogólnej
y = 4(x² - 6x + 9) - 7
y = 4x² - 24x + 36 - 7
y = 4x² - 24x + 29

Odp. Równanie (wzór) funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku w punkcie (3,-7) przechodząca przez punkt (5,9) ma postać ogólną: y = 4x² - 24x + 29 i postać kanoniczną: y = 4(x - 3)² - 7
6 4 6