Odpowiedzi

2010-01-22T12:27:40+01:00
Niech te liczby będą równe x i a− x (czyli a = x − (x − a) ). Suma kwadratów tych liczb jest równa
f(x) = x 2 + (x − a )2 = x2 + x2 − 2ax + a2 = 2x 2 − 2ax + a2.

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie
2a a x = ---= --. 4 2

Zatem najmniejszą sumę kwadratów otrzymamy dla a x = 2 .
5 3 5
2010-01-22T12:32:30+01:00
Pewna liczba "a", która jest stała może być zapisana na nieskończenie wiele różnic dwóch liczb "x" i "y". Wiemy, że jedna z nich musi być większa bądź równa od drugiej. Więc mamy tak:
x≤y
y-x=a

szukamy maksymalnej wartości y²+x²

popatrzmy, że:
y-x=a
y=a+x

podstawmy to do naszej szukanej wartości:
y²+x² = (a+x)²+x² = a²+2ax+x²+x² = 2x²+2ax +a²

więc szukanie największej wartości wyrażenia "y²+x²" jest równoważne z szukaniem największej wartości wyrażenia "2x²+2ax +a²" gdzie "a" jest konkretną i niezmienną liczbą.

Jak to zrobić? Zauważmy, że z tego wyrażenia widać, że jest to parabola, która ba ramiona skierowane do góry. Najmniejsza wartość funkcji f(x)=2x²+2ax +a² będzie więc w wierzchołku (jak ramiona idą do gory to wierzchołek jest na dole). Znajdźmy współrzędne wierzchołka:

x_szukane=-b/2a gdzie "b" to u nas "2a" natomiast "2a" z mianownika to u nas "2" przy x'ie:
x_szukane=-b/2a=-2a/4=-½a

x więc jest równe -½a

obliczmy y:
y=a+x= a-½a=½a

więc nasze liczby to: ½a, -½a

sprawdźmy jeszcze warunek początkowy:
y-x=a
½a-(-½a)=½a+½a=a

więj jest dobrze
8 5 8