Odpowiedzi

2010-01-22T19:19:24+01:00
W jednym przypadku podałam trzy wersje rozwiązania, ponieważ nie jestem pewna jak ma wyglądać przykład. Jak masz jakieś pytania, albo żadna z proponowanych prze zemnie wersji przykładu c nie jest dobra pisz na pw.

a)2 do potęgi x² - 3x = 1

2^{x² - 3x} = 1
1 = 2⁰ (jedyna możliwość)

x² - 3x = 0
x(x - 3) = 0
x = 0 ∨ x = 3

b) 3x2 do potęgi x - 2 do potęgi x = 8

3 * 2^{x} - 2^{x} = 8
2 * 2^{x} = 2^{3}
2^{x + 1} = 2^{3}
x + 1 = 3
x = 2

c) 2 do potęgi 2x - 3x2 do potęgi x - 4 = 0

2^{2x - 3} * 2^{x - 4} = 0
2^{2x - 3 + x - 4} = 0
2^{3x - 7} = 0

2^{2x - 3} * 2^{x} - 4 = 0
2^{2x - 3 + x} - 4 = 0
2^{3x - 3} = 4
2^{3x-3} = 2^{2}

3x - 3 = 2
x = 5/3

2^{2x} - 3*2^{x - 4} = 0
2^{2x} = 3*2^{x - 4}
2^{2x}/2^{x - 4} = 3
2^{2x}/2^{x - 4} = 3
2^{x + 4} = 3
x + 4 = log₂3
x = log₂3 - 4 = log₂3 - log₂16 = log₂(3/16)

2^{2x} - 3*2^{x} - 4 = 0
t = 2^{x} > 0
2t² - 3t - 4 = 0
Δ = 9 + 32 = 41
x₁ = (3 + √41)/4
x₂ = (3 - √41)/4

d) (½) do potęgi x² - 2x < ⅛

(½)^{x² - 2x} < ⅛
(½)^{x² - 2x} < (½)^3
½ < 1

x² - 2x > 3
x² - 2x - 3 > 0
Δ = 4 + 12 = 4*4
x₁ = (2 - 4)/2 = -1
x₂ = (2 + 4)/2 = 3
(x + 1)(x - 3) > 0
x ∈ (-∞, - 1) u (3, ∞)
2010-01-22T19:26:00+01:00
A)2 do potęgi x² - 3x = 1

2^{x²-3x} = 1

2^{x²-3x} = 2^{0}

ponieważ podstawy są takie same, więc wykładniki też muszą

x²-3x = 0
x(x-3) = 0
x=0 lub x-3 = 0
x=0 lub x = 3

b) 3x2 do potęgi x - 2 do potęgi x = 8

* - razy

3* 2^{x} - 2^{x} = 8

2 * 2^{x} = 2^{3}

2^{x+1} = 2^{3}

x+1 = 3
x = 2

c) 2 do potęgi 2x - 3x2 do potęgi x - 4 = 0

2^{2x-3} * 2^{x} - 4 = 0

2^{3x-3} - 4 = 0

2^{3x - 3} = 4

2^{3x-3} = 2^{2}

3x-3 = 2
3x = 5
x = 5/3

d) (½) do potęgi x² - 2x < ⅛

(0,5)^{x² - 2x } < (0,5)³

Odchodząc od potęgowania zmieniamy znak nierówności ponieważ 0,5 < 1.

x² - 2x > 3
x² - 2x - 3 > 0
∆ = 4 + 12 = 16
x1 = (2-4):2 = -1
x2 = (2+4):2 = 3

Rozwiązujemy nierówność kwadratową. Współczynnik przy najwyższej potędze x jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Dodatkowo miejscami zerowymi są liczby -1 i 3.

Rozwiązaniem jest:

x należy (-oo; -1)U(3; +oo)