Dział: Funkcja kwadratowa.

Proszę o poprawne rozwiązanie wybranych zadań z załącznika (minimum 6). Czym więcej zadań poprawnie zrobionych - tym większa szansa, że dam odpowiedź jako "najlepszą".

Liczę na Waszą pomoc!

*spam i odpowiedzi nie na temat zgłaszam moderatorom.

PS. Jakby co to tutaj jest ta lista zalinkowana wyraźnie:
http://i49.tinypic.com/314rvvs.jpg

2

Odpowiedzi

2010-01-23T11:55:25+01:00
Zadanie 19
a - pierwsza liczba
20 - a - druga liczba

f(a) = (20 - a)a = - a² + 20a
funkcja ma ramiona skierowane do dołu więc największą wartość przyjmuje dla a wierzchołka
a = - 20/-2 = 10

a = 10
20 - a = 10

zadanie 20
a - pierwsza liczba
12 + a - druga liczba

f(a) = a² + (12 + a)² = 2a² + 24a + 144
funkcja ma ramiona skierowane do góry więc najmniejszą wartość przyjmuje dla a wierzchołka
a = - 24/4 = - 6

a = - 6
12 + a = 6

zadanie 21
a - jeden bok
b - drugi bok

2a + 2b = 20
b = 10 - a

f(a) = (10 - a)a = - a² + 10a
funkcja ma ramiona skierowane do dołu więc największą wartość przyjmuje dla a wierzchołka
a = - 10/-2 = 5

a = 5
b = 10 - 5 = 5

zadanie 22
a - długość podstawy
h - wysokość

a + h = 12
h = 12 - a

f(a) = a(12 - a)/2 = - a²/2 + 6a
funkcja ma ramiona skierowane do dołu więc największą wartość przyjmuje dla a wierzchołka
a = - 6/-1 = 6

zadanie 23
A = (2, - 3)
f(x) = 2x² + bx + 3

postawiamy punkt A do równania
- 3 = 2*4 + 2b + 3
2b = - 14
b = - 7

f(x) = 2x² - 7x + 3
funkcja ma ramiona skierowane do góry więc najmniejszą wartość przyjmuje dla a wierzchołka
Δ = 49 - 24 = 25
f(x_w) = - 25/8 = - 3,25

zadanie 24
A = (6, 0)
f(x) = ax² + 5x - 12

postawiamy punkt A do równania
0 = 36a + 30 - 12
36a = - 18
a = - 1/2

f(x) = - x²/2 + 5x - 12
f(-3 1/2) = f(-7/2) = - 49/8 - 35/2 - 12 = - 189/8 - 12 = - 285/8 = - 35,625

jak masz pytania pisz na pw
2010-01-23T13:13:45+01:00
24)
f(x)=ax²+5x-12

podstawiamy w miejsce (x,y) gdzie y=f(x) współrzędne punktu A(6,0)

0=a*6²+5*6-12
0=36a+30-12
-18=36a |:(36)
a=-½

mając już wzór:
f(x)=-½x²+5x-12
wyznaczamy f(-3½) podstawiając pod "x" -3½:
f(-3½)=-½*(-3½)²+5*(-3½)-12
f(-3½)=-½*(-⁷/₂)²+5*(-⁷/₂)-12
f(-3½)=-½*⁴⁹/₄ - ³⁵/₂ - 12
f(-3½)=-⁴⁹/₈ - ¹⁴⁰/₈ - ⁹⁶/₈
f(-3½)=-²⁸⁵/₈
f(-3½)=-35⅝

25) f(x)=-x²+bx-4
a=-1
c=-4

wiemy, że ramiona ma skierowane do dołu gdyż "a" jest mniejsze od zera. Wiemy też, że skoro ma jedno miejsce zerowe to Δ=0:

Δ=b²-4ac
0=b²-4*(-1)*(-4)
0=b²-16
b²=16
b=4 lub b=-4

musimy sprawdzić dla obu:
1⁰ f(x)=-x²+4x-4
największa wartość jest w wierzchołku więc go liczymy:
p=-b/2a=-4/-2=2

2⁰ f(x)=-x²-4x-4
p=-b/2a=4/-2=-2

więc największą wartość osiągniemy w punkcie x=±2

26)
funkcja kwadratowa ma postać f(x)=ax²+bx+c
teraz wyliczamy a,b,c
z zadania a=⅔
f(3)=⅔*3²+b*3+c=0
f(-2)=⅔*(-2)²+b*(-2)+c=0


mamy układ równań:
⅔*3²+b*3+c=0
⅔*(-2)²+b*(-2)+c=0

⅔*9+3b+c=0
⅔*4-2b*+c=0

6+3b+c=0
⁸/₃-2b+c=0

3b+c=-6 |*(-1)
-2b+c=-⁸/₃

-3b-c=6
-2b+c=-⁸/₃


-5b=6-⁸/₃
-5b=¹⁸/₃-⁸/₃
-5b=¹⁰/₃ |*-⅕
b=-⅔

wstawiamy do równania:
-3b-c=6
-3(-⅔)-c=6
2-c=6
-c=4
c=-4

i tak uzyskaliśmy a=⅔, b=-⅔, c=-4
f(x)=⅔x²-⅔x-4

27) f(x)=ax²+bx+c
a=-½
f(1)=-½*1²+b*1+c=0
f(4)=-½*4²+b*4+c=0

znowu układ równań:
-½*1²+b*1+c=0
-½*4²+b*4+c=0

-½+b+c=0
-8+4b+c=0

b+c=½ |*(-1)
4b+c=8

-b-c=-½
4b+c=8

3b=7½
3b=¹⁵/₂ |*(⅓)
b=⁵/₂=2½

wstawiamy:
b+c=½
2½+c=½
c=-2

f(x)=-½x²+2½x-2

znów mamy ramiona skierowane ku dołowi więc największa wartość będzie dla wierzchołka:
p=-b/2a=-2½/-1=2½
Δ=b²-4ac
Δ=(2½)²-4*(-½)*(-2)
Δ=²⁵/₄ - 4
Δ=²⁵/₄ - ¹⁶/₄
Δ=⁹/₄

mając deltę liczymy wartość wierzchołka:
q=-Δ/4a=(-⁹/₄)/4*(-½)=(-⁹/₄)/(-2)=1⅛

Odp: największa wartość jest dla argumentu 2½ i wynosi ona 1⅛

28) f(x)=ax²+bx+c
a=-3

tradycyjnie układ równań:
f(2)=(-3)*2²+b*2+c=1
f(3)=(-3)*3²+b*3+c=5

9*4+2b+c=1
-27+3b+c=5

2b+c=-35 |*(-1)
3b+c=32

-2b-c=35
3b+c=32

b=67

podstawiamy:
3b+c=32
3*67+c=32
201+c=32
c=-169

tak mamy f(x)=-3x²+67x-169

29) f(x)=x²+bx+c
a=1

f(2)=2²+b*2+c=0
f(6)=6²+b*6+c=34

4+2b+c=0
36+6b+c=34

2b+c=-4 |*(-1)
6b+c=-2

-2b-c=4
6b+c=-2

4b=2 |:(4)
b=½

-2b-c=4
-2*(½)-c=4
-1-c=4
-c=5
c=-5

f(x)=x²+½x-5

liczymy wartość f(-2):
f(-2)=(-2)²+½*(-2)-5
f(-2)=4-1-5
f(-2)=-2

30) f(x)=x²+bx+c

co to znaczy, że liczba jest miejscem zerowym? To znaczy, że f(miejsce_zerowe)=0

tak więc:
f(-2)=(-2)²+b*(-2)+c=0
f(4)=4²+b*4+c=0
f(0)=0²+b*(0)+c=8

4-2b+c=0
16+4b+c=0
c=8
tak wiec z trzeciego od razu mamy c=8 i wstawiamy pod którekolwiek z równań:
4-2b+c=0
4-2b+8=0
12-2b=0
-2b=-12 |:(-2)
b=6

tak o to mamy f(x)=x²+8x+6

najmniejsza wartość funkcji jest w wierzchołku i wynosi ona:
q=-Δ/4a

liczymy deltę:
Δ=b²-4ac
Δ=8²-4*1*6
Δ=64-24
Δ=40

q = -Δ/4a = -40/4=-10

najmniejsza wartość to -10

31)
f(x)=x²+bx+10

wiemy, że należą do wykresu punkty A(2,-14), B(-1,16)... wstawiamy te punkty kolejno pod (x,y) czyli u nas (x,f(x)):
-14=2²+b*2+10
16=(-1)²+b*(-1)+10

-14=4+2b+10
-28=2b
b=-14

sprawdźmy podstawiając do drugiego czy b=-14 jest "dobre":
16=(-1)²+b*(-1)+10
16=1+-b+10
16=1+-(-14)+10
16=16

wszystko ok, więc b=-14

miejsca zerowe liczymy więc delta i pierwiastki:
Δ=b²-4ac
Δ=(-14)²-4*1*10
Δ=196-40
Δ=156
√Δ=√4*39
√Δ=2√39

x₁=(-b-√Δ)/2a = (14-2√39)/2 = 7-√39
x₂=(-b-√Δ)/2a = (14+2√39)/2 = 7+√39

nie widzę co należy zrobić w "14" więc robię "15":
15)
a) f(x)=x²-4 x∈<0,2>

współrzędne wierzchołka:
p=-b/2a=0/2=0

a więc wierzchołek paraboli z ramionami do góry jest w punkcie 0 - tutaj będzie najmniejsza wartość:

minimum: q=-Δ/4a = -(b²-4ac)/4a = -16/4= -4
max: f(2)=2²-4=0


b) f(x)=x²+11x+24 x∈<-3,0>

wierzchołek:
p=-b/2a=-11/2=-5½

wierzchołek jest spoza przedziału - tam funkcja "w ogóle" przyjmuje najmniejszą wartość... u nas najbliżej wierzchołka jest -3:

minimum: f(-3)=(-3)²+11*(-3)+24 = 9-33+24 = 0
max: f(0)=0²+11*0+24 = 24

c) f(x)=x²-7x+12 x∈<3,5>

jak zwykle:
p=-b/2a=7/2=3½

najmniejszą wartość przyjmuje dla 3½, a największa będzie najdalej odsunięta od najmniejszej (logiczne) czyli nie x=3 tylko x=5:

minimum: q=-Δ/4a= -(b²-4ac)/4a = -(49-48)/4 = -¾
max: f(5)=5²-7*5+12=25-35+12=2

d) f(x)=2x²+5x+2 x∈<-3,1>

p=-b/2a=-5/2=-2½

minimum: q=-Δ/4a = -(b²-4ac)/4a = -(25-16)/8=-9/8=-1⅛
max: f(1)=2*1²+5*1+2=2+5+2=9

e) f(x)=-3x²-8x+4 x∈<-2,1>

p=-b/2a=8/-6=-1⅓

największa (bo ramiona skierowane do dołu) wartość jest w wierzchołku x=-1⅓

minimum: f(1)=-3*1²-8*1+4 = -3-8+4=-7
max: q=-Δ/4a= -(b²-4ac)/4a = -(64+48)/12=9⅓

f) f(x)=-½x²+x-5 x∈<-1½,½>

p=-b/2a=-2/-1=2

największa wartość jest spoza przedziału... najbliższa wierzchołka jest x=-½, najdalej x=-1½

minimum: f(-1½)=-½*(-1½)²-1½-5 = -½*(³/₂)²-1½-5 = -½*(⁹/₄)-1½-5 = -⁹/₈ - ³/₂ - 5 = -⁹/₈ - ¹²/₈ - ⁴⁰/₈ = -⁶¹/₈ = 7⅝

max: f(½)=-½*(½)²+½-5 = -½*¼ +½ - 5 = -⅛+⁴/₈-⁴⁰/₈ = -³⁷/₈ = -4⅝

16) zadanie jest niepoprawne... nie ważne czy za m przyjmę 0 czy -100 to ramiona wtedy będą do góry, a więc funkcja przyjmuje największą wartość w nieskończoności (właściwie jej nie przyjmuje bo nigdy nie dosięgnie). Możliwe, że chodzi o funkcje taką by ramiona były skierowane do dołu i jakie m trzeba wybrać by wierzchołek był najwyżej. Nie wiem... mimo wszystko dla m=4 będzie a=0 i funkcja stanie się liniową dążącą do 0... nie rozwiązuje gdyż treść winna być troszkę bardziej sprecyzowana

17) f(x)=ax²+bx+c

wiemy, że a<0 czyli funkcja jest malejąca... teraz W(4,1)
a1²+b*1+c=4
a+b+c=4

c=4-b-a

4=-b/2a |*2
1=-(b²-4ac)/4a |*(-1)

b/a=8
(b²-4ac)/4a =-1

z pierwszego mamy, że:
a=b/8

(b²-4ac)/4a =-1
(b²-4*(b/8)*c)/[4*(b/8)] =-1
(b²-bc/2)/(b/2)=-1
(2b²/2 - bc/2)/(b/2)=-1
[(2b²-bc)/2]/(b/2)=-1
[(2b²-bc)/2]*2/b=-1
2b-c=-1


mamy już takie równania:
2b-c=-1
a=b/8
c=4-b-a

pokombinujmy:
2b-c=-1
2b-(4-b-a)=-1
2b-4+b+a=-1
3b+a=3


teraz:
3b+a=3
a=b/8

3b+a=3
3b+b/8=3 |*(8)
24b+b=3
25b=3 |:(25)
b=3/25

wyliczamy resztę:

a=b/8
a=(3/25)/8
a=3/25 * 1/8
a=³/₂₀₀

c=4-³/₂₅-³/₂₀₀
c=⁸⁰⁰/₂₀₀- ²⁴/₂₀₀-³/₂₀₀
c=⁷⁷³/₂₀₀

f(x)= ³/₂₀₀x²-²⁴/₂₀₀x+⁷⁷³/₂₀₀

nie chcemy raczej takie postaci :)

f(x)= ¹/₂₀₀(3x²-24x+773)

funkcja ma ramiona do góry więc funkcja jest malejąca od minus nieskończoności do wierzchołka... policz go sobie (z postacią f(x)= ³/₂₀₀x²-²⁴/₂₀₀x+⁷⁷³/₂₀₀)



18)
pierwszy rysunek:

a>0 bo ramiona do góry
p>0 bo na prawo od osi OY
q>0 bo powyżej osi OX
Δ>0 bo się nie przecina z osią
c>0 bo to punkt przecięcia z osią OY
p=-b/2a
+=-b/+

by wszystko było "ok" b<0



drugi rysunek:
a>0
Δ<0
p>0
q<0
c>0

p=-b/2a
+=-b/+

b<0

trzeci:
a<0
Δ=0
p<0
q=0
c<0

p=-b/2a
-=-b/-

b<0

czwarty:
a<0
Δ>0
p>0
q>0
c>0

p=-b/2a
+=-b/-

b>0

19)
x+y=20

szukamy największej wartości x*y

x+y=20
y=20-x

teraz x*y = (20-x)*x = -x²+20x

mamy funkcję f(x)=-x²+20x

jej ramiona są skierowane do góry... wyliczamy największą wartość:
p=-20/-2=10

tak więc największą wartość przyjmuje dla x=10... skoro x=10, a:
x+y=20

10+y=10
y=10

tak więc x=10, y=20 - to najkorzystniejsza kombinacja...


Niestety właśnie straciłem swój ticket (zarezerwowanie zadania) więc muszę wysłać tyle zadań ile Ci rozwiązałem.