Oblicz pole powierzchni i objętość graniastosłupa prawidłowego :
a) trójkątnego o krawędzi podstawy 5 cm i wysokości 12 cm,
b) sześciokątnego, w którym krawędź podstawy ma 2cm, a wysokość jest 6 razy dłuższa.

P.S - zapisujcie wszystkie obliczenia nawet te w pamięci :)

1

Odpowiedzi

2010-01-24T14:52:33+01:00
A)
Wiemy, że:
a=5cm
H=12cm
szukamy:
Pc=?
V=?

Pc=2Pp+Pb
V=Pp*H

Pc-pole całkowite
Pb-pole boczne
Pp-pole podstawy
V-objętość

podstawą jest trójkąt równoboczny, a wzór na pole trójkąta równobocznego to:
P=a²√3 / 4, dlatego Pp=a²√3 / 4

Pb=3aH (3 prostokąty o bokach a i H)
zatem:

Pc=2*a²√3 / 4 + 3aH=a²√3 / 2 + 3aH

Pc=(5cm)²√3 / 2 + 3*5cm*12cm=25cm²√3 / 2 +180cm²=12,5cm²√3 + 180cm²

V=Pp*H
V=a²√3 / 4 *H
V=(5cm)²√3 / 4 *12cm= 25cm²√3 / 4 *12cm=75cm³ √3

b)
Wiemy, że:
a=2cm
H=6*a=6*2cm=12cm

szukamy:
Pc=?
V=?

Pc=2Pp+Pb
V=Pp*H

Pc-pole całkowite
Pb-pole boczne
Pp-pole podstawy
V-objętość
podstawą jest sześciakąt forenny o boku a, polem takiego sześciokąta jest sześć trójkątów równobocznych o boku a, zatem:
Pp=6*a²√3 / 4=3*a²√3 / 2
Pb=6aH

Pc=2*3*a²√3 / 2 + 6aH = 3*a²√3 +6aH
Pc= 3*(2cm)²√3 + 6*2cm*12cm=3*4cm²√3 + 144cm²=12cm²√3 + 144cm²

V=3*a²√3 / 2 * H
V=3*(2cm)²√3 / 2 *12cm=3*4cm²√3 /2 *12cm= 6cm²√3 *12cm=72cm³√3