Dany jest wielomian W(x)= -3x⁴ + ax³ + 12x² -24x, o którym wiadomo, że jednym z jego miejsc zerowych jest liczba 2. a)Wyznacz wartość parametu a i pozostałe miejsca zerowe tego wielomianu.
b) Mając wyznaczoną wartość a, wskaż zbiór tych argumentów, dla których wielomian W(x) przyjmuje takie same wartości jak wielomian F(x)= 3x³ + 6x² -24x.

1

Odpowiedzi

2010-01-24T19:36:23+01:00
W(x)= -3x⁴ + ax³ + 12x² -24x

a) Liczba 2 jest miejscem zerowym, więc W(2)=0

-3 • 2⁴ + a • 2³ + 12 • 2² - 24 • 2 = 0
-3 • 16 + 8a + 12 • 4 - 48 = 0
-48 + 8a + 48 - 48 = 0
8a = 48
a = 6

W(x)= -3x⁴ + 6x³ + 12x² -24x

Liczymy pozostałe miejsca zerowe:
-3x⁴ + 6x³ + 12x² - 24x = 0
-3x³(x - 2) + 12x(x - 2) = 0
(x - 2)(-3x³ + 12x) = 0
(x - 2)(-3x)(x² - 4) = 0
(x - 2)(-3x)(x - 2)(x + 2) = 0
x - 2 = 0 lub -3x = 0 lub x-2 = 0 lub x + 2 = 0
x = 2 lub x = 0 lub x = 2 lub x = -2

Pozostałe miejsca zerowe: -2; 0.

b)
W(x)= -3x⁴ + 6x³ + 12x² -24x
F(x)= 3x³ + 6x² -24x

Wartości będą takie same, jeśli W(x) = F(x)

-3x⁴ + 6x³ + 12x² -24x = 3x³ + 6x² -24x
-3x⁴ + 3x³ + 6x² = 0
-3x²(x² - x - 2) = 0
-3x² = 0 lub x² - x - 2 = 0
x = 0

x² - x - 2 = 0
D - delta
D = (-1)² - 4 • 1 • (-2) = 1 + 8 = 9
√D = 3
x₁ = (1 - 3):2 = -2:2 = -1
x₂ = (1 + 3):2 = 4:2 = 2

W(x) = F(x) <=> x∈ {-1; 2}
2 5 2