1)
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.

f(x) = x+4 dla x ≤ 0
4 - x² dla x> 0

2)
Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 2cm i 6 cm, a cosinus kąta przy dłużej podsatwie jest równy ⅓ . Oblicz obówd tego trapezu.


3) Na początku sezonu papryka czerwona i papryka zielona kosztowały tyle samo. Po pewnym czasie cena papryki czerwonej wzrosła o 15% a zielonej o 9%. O ile procent więcej zapłaci pani Kowalska przy zakupie 2 kg papryki zielonej i 1 kg czerwonej?

4) Wielomiany w (x) = (x² - a)² i v(x) = x²(x²+2) + 1 są równe. Wyznacz współczynnik a.

5)

Funkcja f(x) = -x² + bx + c przyjmuje wartości dodatnie tylko dla argumentów x∈ (1;5)

a) Wyznacz współczynnik b i c
b) Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.
c) Podaj przedziały monotoniczności funkcji f.

6) Dane są punkty A(1,1) i B (3,5). Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB oraz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB.


7) W tabeli podane jest zużycie wody przez rodzinę Kowalskich w kolejnych miesiącach roku. Oblicz średnie miesięczne zużycie wody oraz odchylenie standardowe ( z dokładnością do jednego miesiąca po przecinku). W których miesiącach zużycie wody było większe od średniej?

Misiąc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Zużycie 12 10 10 11 15 25 26 12 13 10 10 14
wody [m₃]

2

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-01-25T13:42:31+01:00
Zad 1)
f(x) = x+4 dla x ≤ 0
4 - x² dla x> 0

miejsca zerowe czyli kiedy y=0 (u nas y=f(x)):
0 = x+4 dla x ≤ 0
x=-4

0 = 4 - x² dla x> 0
-x² = -4
x² =4
x=2 lub x=-2

przy czym x=-2 odpada gdyż x>0 więc mamy dwa rozwiązania:
x=-4 dla x≤0
x=2 dla x>0

Zad 2)
Mamy trapez: http://i45.tinypic.com/jtbdrn.png
b=2cm
a=6cm

gdybyśmy od całego boku "a" odcięli tą część równą bokowi "b" to zostanie nam 4cm na |AF| oraz |ED|. Jako, że jest to trapez równoramienny to |AF|=|ED|:
|AF|+|ED|=4cm
|ED|+|ED|=4cm
|ED|=2cm
|AF|=2cm


cosinusem w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej, czyli:
cosα=|AF|/c
⅓=2cm/c |*c
⅓c=2cm |*3
c=6cm

tak o to mamy boki:
a=6cm
b=2cm
c=6cm

Obwód: a+b+c+c=6cm+2cm+6cm+6cm=20cm

Zad 3)
Na początku gdyby ktoś chciał kupić jedną i drugą paprykę to zapłaciłby:
x+y=x+x=2x

po pewnym czasie:
(x+15%x)+(x+9%x)=2x
(x+0,15x)+(x+0,09x)=1,15x+1,09x=2,24x

teraz liczymy o ile procent jest to więcej:
2x --- 100%
2,24x --- ?

?=2,24x*100%/2x
?=224%/2
?=112%

wiemy, że zapłaci 112% starej ceny (100%), a więc zapłaci o 12% więcej.

Zad 4)
w(x) = v(x)
(x² - a)²=x²(x²+2) + 1

rozpiszmy v(x):
v(x)=x²(x²+2) + 1
v(x)=x⁴+2x²+1

rozpiszmy w(x):
w(x)=(x² - a)²
w(x)=x⁴-2x²a+a²

wystarczy przyrównać:
w(x)=v(x)
x⁴-2x²a+a² = x⁴+2x²+1
-2x²a+a² = 2x²+1

widzimy, że a²=1 oraz, że -2x²a=2x²
żeby równość była zachowana musi być a=-1

Zad 5)
a)
f(x) = -x² + bx + c
a=-1

wiemy, że ramiona są skierowane do dołu... tak więc w zakresie x∈ (1;5) znajduje się wierzchołek (jest on zawsze po środku punktów przecięć x=1, x=5) więc p=3

p=-b/2a
3=-b/-2
3=b/2 |*2
b=6

mamy już funkcję: f(x) = -x² + 6x + c i wiemy, że punkty przecięcia to x₁=1 x₂=5

można na minimum dwa sposoby wyznaczyć wzór
1⁰ sposób - wzory Viete'a:
x₁*x₂=c/a
1*5=c/-1
5=c/-1 |*(-1)
c=-5

i tak o to mamy wzór f(x) = -x² + 6x - 5

(w podobny sposób można było skorzystać by wyliczyć b: x₁+x₂=-b/a)

2⁰ sposób - delta i pierwiastki:
Δ=b²-4ac
Δ=6²-4*(-1)*c
Δ=36+4c
Δ=4(9+c)
√Δ=√4(9+c)=2√(9+c)

x₁=(-b+√Δ)/2a
1=[-6+2√(9+c)]/-2
1=3-√(9+c)
-√(9+c)=-2 |²
|9+c|=4

z tego mamy, że:
c=-5 lub c=-13

musimy albo podobnie zrobić z x₂ i zobaczyć, że nakłada się tylko c=-5 albo narysować dwie funkcje i zobaczyć, która jest poprawna (będzie ta z c=-5)


i znów doszliśmy, że:
f(x) = -x² + 6x - 5

b) liczymy współrzędne wierzchołka paraboli:
p=-b/2a
p=-6/-2
p=3 (co wiedzieliśmy wcześniej)
q=-Δ/4a
Δ=b²-4ac=6²-4*(-1)*(-5)=36-20=16

q=-16/-4
q=4

współrzędne wierzchołka paraboli W(p,q) to W(3,4)

c)
funkcja jest rosnąca w przedziale (-∞;3>
funkcja jest malejąca w przedziale <3;+∞)

Zad 6)
a)
symetralna przedzieli nam odcinek AB dokładnie w połowie i pod kątem prostym... obliczmy tą połowę (środek odcinka):
S((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)
S((1+3)/2,(1+5)/2)
S(⁴/₂,⁶/₂)
S(2,3)

Więc szukamy prostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez S... najpierw musimy znaleźć równanie prostej AB:

y=ax+b

1=a+b |*(-1)
5=3a+b

-1=-a-b
5=3a+b

4=2a |:(2)
a=2

wstawiamy:
5=3a+b
5=3*2+b
b=-1

tak więc prostą AB można zapisać funkcją y=2x-1

teraz symetralna będzie prostą prostopadłą do AB przechodzącą przez S... współczynnik "a" prostej prostopadłej zawsze zachowuje własność:
a₁*a₂=-1
2*a₂=-1 |:2
a₂=-½

więc prosta prostopadła jest postaci: y=-½x+b

by wyliczyć "b" wstawmy punkt S(2,3) do równania w miejsce (x,y):
3=-½*2+b
3=-1+b
b=4

i tak o to mamy, że symetralna jest równania: y=-½x+4

b)
mamy już środek okręgu bo jest to środek odcinka AB czyli S(2,3)... wystarczy nam promień czyli odległość S od B:
|SB|=√(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²
|SB|=√(3-2)²+(5-3)²
|SB|=√1²+2²
|SB|=√5

Piszemy równianie okręgu:
(x-x₀)²+(y-y₀)²=r²
(x-2)²+(y-3)²=(√5)²
(x-2)²+(y-3)²=5


Zad 7)
a) Średnie miesięczne zużycie wody to będzie suma wszystkich zużyć wody dzielone przez liczbę miesięcy:
ŚR = (12m³+10m³+10m³+11m³+15m³+25m³+26m³+12m³+13m³+10m³+10m³+14m³)/12

ŚR = 168m³/12
ŚR = 14m³

b) odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji, gdzie:
wariancja=δ²=[(a₁-ŚR)²+(a₂-ŚR)²+...]/n

liczymy:
δ²=[ (12m³-14m³)² + (10m³-14m³)² + (10m³-14m³)² + (11m³-14m³)² + (15m³-14m³)² + (25m³-14m³)² + (26m³-14m³)² + (12m³-14m³)² + (13m³-14m³)² + (10m³-14m³)² + (10m³-14m³)² + (14m³-14m³)²] / 12

bardzo ciekawe się zaczyna, ale spokojnie :)
δ²=[ (-2m³)² + (-4m³)² + (-4m³)² + (-3m³)² + (m³)² + (11m³)² + (12m³)² + (-2m³)² + (-m³)² + (-4m³)² + (-4m³)² + (0m³)² ] / 12

δ²=[ 4m⁶ + 16m⁶ + 16m⁶ +9m⁶ + m⁶ + 121m⁶ + 144m⁶ +4m⁶ +m⁶ + 16m⁶ + 16m⁶ ] /12

δ²=348m⁶ /12
δ²=29m⁶

no i piękna liczba wyszła :)

odchylenie standardowe to jak pisałem pierwiastek z tej wariancji:
δ=√δ²
δ=√29m⁶≈5,4m³

odchylenie standardowe wynosi około 5,4m³
3 5 3
2010-01-25T14:14:06+01:00
1)
f(x) = x+4 dla x ≤ 0
f(x)=0
x+4=0
x=-4 - odp.

4 - x² dla x> 0
f(x)=(4-x)(4+x)
f(x)=0
(4-x)(4+x)= 0
x=4 , x=-4 - odp.

2)
a=2cm
b=6cm
cos α =1/3

b=x+x+2cm
6cm=2x+2cm
2x=4cm
x=2cm

cosα =x/c (c - ramię trapezu)
1/3=2cm/c I*c
1/3*c=2cm
c=6cm

Obw.=2cm+6cm+6cm+6cm= 20 cm

3)
100%x-cena papryki czerwonej i zielonej na początku sezonu
115%x - nowa cena papryki czerwonej
109%x - nowa cena papryki zielonej

2*109%x+ 115%x= 218%x+115%x=333%x
100%+100%+100%=300%

333%-300%-33%
Odp. O 33%.

4) w(x) = (x² - a)² i v(x) = x²(x²+2) + 1 są równe zatem:
(x² - a)² = x²(x²+2) + 1
x^4 - 2x²a +a² = x^4+2x² + 1 I-x^4
-2ax²+a² = 2x² + 1 są równe, a zatem współczynniki przy tych samych potęgach są równe, czyli
-2a=2 i a²=1
a=-1 i (a=1 lub a=-1)
Odp. a=-1.

5)

6) A(1,1) i B (3,5).
Równanie prostej AB:
y=ax+b

1=a+b
5=3a+b

b=1-a
5=3a+1-a

b=1-a
4=2a

a=2
b=-1

y=2x-1 - prosta AB

Środek odcinka AB:
D=((1+3)/2, (1+5)/2)
D=(2,3)

Prosta prostopadła do pr. AB : y=-1/2x+b
Do tej prostej należy też punkt D, bo symetralna przechodzi przez środek odcinka, więc
3=-1/2 * 2 +b
3=-1+b
b=4

Odp. Równanie symetralnej : y= -1/2x+4

Równanie okręgu o środku S(a,b) i promieniu r:
(x-a)²+(y-b)²=r²

S=(2,3) bo to jest punkt D.
r= IDBI = √(3-2)²+(5-3)² = √1+4 = √5

Odp. Równanie okręgu: (x-2)²+(y-3)²=5

7)
(12 +10+ 10+ 11+ 15+ 25+ 26+ 12+ 13+ 10+ 10+ 14)/12= 168/12 = 14
Odp. Średnie mięsięczne zużycie wody wynosiło 14 m³. W maju, czerwcu i lipcu zużycie wody było większe od średniej.