1.W trapezie równoramiennym wysokość ma długość 5 cm i jest równa długości krótszej podstawy trapezu. Przedłużenia ramion przecinają się pod kątem prostym. Oblicz obwód tego trapezu.

2. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości a i b oraz przeciwprostokątną długości c, a jeden z kątów ostrych ma miarę α. Oblicz obwód trójkąta jeśli:
a) a=2, α=45°
b) c=6, α=30°
c) b=4, α=60° i a<b

2

Odpowiedzi

2010-01-25T16:54:54+01:00
1.
Po narysowaniu obu wysokości trapezu na dłuższej podstawie odcięte zostaną dwa odcinki o jednakowej długości: x.
Ramię trapezu oznaczę przez y.
Dorysowując przedłużenia ramion otrzymujemy trójkąt prostokątny równoramienny. Odcinek przedłużający ramię oznaczę przez z. Wówczas z tw Pitagorasa:
z²+z²=5²
2z²=25
z²=25/2
z=5/√2
z=2,5√2

Teraz korzystamy z twierdzenia Talesa.
z/5 = (z+y)/(5+2x)
z(5+2x)=5(z+y)
5z+2xz=5z+5y
2xz=5y
2x*2,5√2=5y
5√2x=5y
√2x=y
y=√2x

Teraz korzystamy z tw Pitagorasa w małym trójkącie prostokątnym (w trapezie, powstałym przez narysowanie wysokości):
y²=x²+5²
y²=x²+25
(√2x)² = x²+25
2x²-x²=25
x²=25
x=5

y=√2x
y=5√2

Obwód trapezu:
L=5+2y+5+2x
L=10+10√2+10
L=10√2+20
L=10(√2+2) [cm]
_________________________________

2.
Zakładam, że kąt α jest między bokami długości b i c.
a) a=2, α=45°
Skoro kąt ma miarę 45°, więc jest to trójkąt prostokątny równoramienny.
a=b=2
przeciwprostokątną można policzyć z tw Pitagorasa lub z przekątnej kwadratu.
Z przekątnej:
c=a√2
c=2√2

Z tw. Pitagorasa:
a² + a² = c²
2² + 2² = c²
c² = 8
c=2√2

Obwód:
L=a+b+c
L=2+2+2√2 = 4+2√2 = 2(2+√2)

b) c=6, α=30°
Nie wiem, czy korzystacie z funkcji trygonometrycznych, czy z własności długości boków trójkąta o kątach 30, 60, 90.

Z funkcji:
a/c = sin30
a/c = 0,5
a=0,5c
a=0,5*6
a=3

b/c = cos30
b=c*cos30
b=6*0,5√3
b=3√3

Z własności:
a=0,5c
a=0,5*6
a=3

b=a√3
b=3√3

Obwód:
L=a+b+c
L=3+3√3+6 = 9+3√3 = 3(3+√3)

c) b=4, α=60° i a<b

Teraz należy tak oznaczyć boki trójkąta, aby na przeciwko kąta 60° znalazł się bok długości b. (na przeciwko większego z kątów ostrych leży dłuższy z boków)

Z własności:
a=0,5c
b=a√3
4=0,5c√3 |*√3
4√3=1,5c
c=(8√3)/3
a=0,5*(8√3)/3
a=(4√3)/3

Z funkcji:
4/c = sin60
4/c = 0,5√3
4=0,5√3c |*2
8=√3c
c=(8√3)/3

a/c = cos60
a/c = 0,5
a=0,5c
a=0,5*(8√3)/3
a=(4√3)/3

Obwód:
L=a+b+c
L=(4√3)/3 + 4 + (8√3)/3
L=4√3 + 4=4(√3+1)

2010-01-25T22:08:07+01:00
Zadanie 1
Δ ABE ~ Δ DCE => α = |< DAB| = |< EDC|
stąd mamy, że Δ DCE to połowa kwadratu, ponieważ przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym i w połowie, to wysokość Δ DCE jest równa b = h/2

z tw. Talesa
(h + b)/a = b/h
(3h/2)/a = (h/2)/h
3h/2a = 1/2
3h = a
a = 15

ponieważ trapez jest równoramienny:
|AF| = (|AB| - |CD|)/2 = h
|AF| = h = |FD| => |AD| = |BD| = h√2 = 5√2

D = 2*5√2 + a + |CD| = 10√2 + 20

zadanie 2
a) a=2, α=45°
to połowa kwadratu a = b = 2 c = a√2 = 2√2
D = 2 + 2 + 2√2 = 4 + 2√2

b) c=6, α=30°
to połowa trójkąta równobocznego:
a = c/2 = 3
b = a√3 = 3√3
D = 3 + 6 + 3√3 = 9 + 3√3

c) b=4, α=60° i a<b
ana logicznie jak w c jest to połowa trójkąta równobocznego:
b = a√3
a = 4/√3 = 4√3/3
c = 2a = 8√3/3
D = 4 + 4√3/3 + 8√3/3 = 4 + 12√3/3 = 4 + 4√3

jak masz pytania to pisz na pw