1.Okrąg jest wpisany w trójkąt prostokątny, w którym jedna z prostokątnych stanowi 96% przeciwprostokątnej o długości 26cm. Ile wynosi długość promienia okręgu?
2.Kąt środkowy alfa jest oparty na łuku o 4% dłuższym od 1/13 okręgu o promieniu r. Kąt środkowy beta oparty jest na łuku o 4% krótszym od 1/12 okręgu o promieniu 2r. Który kąt ma większą miarę? Czy zadanie można obliczyć (jest wystarczająco dużo danych)?
3.Jaka jest miara jednego kąta wielokąta foremnego, który ma 9 przekątnych?
Błagam na kolanach, pomóżcie proszę. Zadania na czwartek, lecz zależy mi na dość szybkiej pomocy. Z góry dziękuję.

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-01-25T20:38:36+01:00
Zad1.
Mamy przeciwprostokątną równą 26cm... policzmy ten bok co stanowi 96%:

a=96%*26cm=0,96*26cm=24,96cm

Z twierdzenia Pitagorasa obliczymy bok b:
a²+b²=c²
(24,96cm)²+b²=(26cm)²
b²=(26cm)²-(24,96cm)²
b²=676cm²-623,0016cm²
b²=52,9984cm² |√
b=7,28cm

promień okręgu wpisanego obliczymy ze wzoru:
r=2P/(a+b+c)

gdzie P to pole, które wynosi ½a*b - nie musimy jeszcze liczyć tylko wstawić do równania możemy bo nam się ładnie ułamek skróci:
r=2P/(a+b+c) = (2*½a*b)/(a+b+c) = ab/(a+b+c)
Podstawiamy:
r = ab/(a+b+c) = (24,96cm*7,28cm)/(24,96cm+7,28cm+26cm) = 181,7088cm²/58,24cm = 3,12cm

Odp: Promień okręgu wpisanego wynosi 3,12cm.

Zad2.
Jest wystarczająco danych :)

Otóż mamy dwa okręgi... jeden o promieniu r, drugi o promieniu dwa razy dłuższym (czyli o promieniu takim jaki pierwszy miał średnicę). Dzielimy pierwszy na 13 części i opieramy kąt na łuku o troszkę większym niż jedna z tych 13 części - to samo robimy z drugim. Eksperymentalnie można sobie to zrobić w zeszycie dla konkretnego przykładu - nam jednak potrzeba dla wszystkich:

Liczymy miarę kąta α z prostego wzoru:
α/360⁰=długość_wycinka/2πr

potrzebna nam miara długości wycinka, ale cały okrąg (jak każdy ma długość 2πr):
długość_wycinka=(¹/₁₃*2πr)+4%(¹/₁₃*2πr)
długość_wycinka=(¹/₁₃*2πr)+0,04*(¹/₁₃*2πr)
długość_wycinka=(¹/₁₃*2πr)+¹/₂₅*(¹/₁₃*2πr)
długość_wycinka=¹/₁₃*2πr+¹/₃₂₅*2πr

wyłączmy 2πr przed nawias:
długość_wycinka=2πr(¹/₁₃+¹/₃₂₅)
długość_wycinka=2πr(²⁵/₃₂₅+¹/₃₂₅)
długość_wycinka=2πr*²⁶/₃₂₅

podstawmy to do wzoru:
α/360⁰=długość_wycinka/2πr
α/360⁰=2πr*²⁶/₃₂₅/2πr
α/360⁰=³⁶/₃₂₅

mnożymy na krzyż:
325α=360⁰*36
325α=12960⁰ |:25
13α=518,4⁰

dzieląc na 13 możemy obliczyć przybliżenie α, ale my chcemy dokładną wartość więc chwilowo zostawmy, że 13α to 518,4⁰.

Tak samo policzymy β... ale zauważając, że jego promień jest 2 razy dłuższy:
β/360⁰=długość_wycinka/2π*2r
β/360⁰=długość_wycinka₂/4πr

teraz liczymy praktycznie tak samo:
długość_wycinka₂=(¹/₁₂*4πr)-4%(¹/₁₂*4πr)
długość_wycinka₂=(¹/₁₂*4πr)-0,04(¹/₁₂*4πr)
długość_wycinka₂=(¹/₁₂*4πr)-¹/₂₅*(¹/₁₂*4πr)
długość_wycinka₂=(¹/₁₂*4πr)-(¹/₃₀₀*4πr)

znów 4πr przed nawias:
długość_wycinka₂=4πr(¹/₁₂-¹/₃₀₀)
długość_wycinka₂=4πr(²⁵/₃₀₀-¹/₃₀₀)
długość_wycinka₂=4πr*²⁴/₃₀₀
długość_wycinka₂=4πr*²/₂₅

podstawiamy:
β/360⁰=długość_wycinka₂/4πr
β/360⁰=4πr*²/₂₅/4πr
β/360⁰=²/₂₅

na krzyż:
25β=720⁰

I się teraz zastanawiamy:
13α=518,4⁰
25β=720⁰

pomnóżmy α razy 25, a β razy 13 to otrzymamy ten sam czynnik przy kącie:
13α=518,4⁰ |*25
25β=720⁰ |*13
325α=12960⁰
325β=9360⁰

widać, że 325α > 325β to z tego wynika, że α > β

Można też było policzyć α i β:
325α=12960⁰ |:325
325β=9360⁰ |:325

α≈40⁰
β=28,8⁰

α > β


Zad3.

Ilość przekątnych liczymy ze wzoru:
Przekątne = n(n-3)/2
gdzie n jest liczbą wierzchołków:

i tak dla Kwadratu:
Przekątne = 4(4-1)/2
Przekątne = 4*1/2
Przekątne = 2

czyli się zgadza... my wiemy, ile mamy przekątnych ale nie znamy figury:
Przekątne = n(n-3)/2
9 = n(n-3)/2 |*2
18 = n(n-3)
n²-3n-18=0
(n-6)(n+3)=0

by równość była prawdziwa to wielokąt albo ma n=6 albo n=-3
oczywiście to nie jest trójkąt (bo trójkąt nie ma przekątnych i właściwie mamy n=-3, a nie n=3), a więc n=6. Mówimy więc o sześciokącie foremnym.

Teraz tak... suma miar kątów w:
trójkącie = 180⁰
kwadracie = 360⁰
pięciokącie = 540⁰
sześciokącie = 720⁰
itd.

czyli o 180⁰ ciągle więcej... ale nas obchodzi sześciokąt więc suma jego miar to 720⁰... liczymy pojedynczy kąt:
6α=720⁰ |:6
α=120⁰

więc miara jednego kąta wielokąta foremnego to 120⁰.
1 4 1