1. Dla jakich całkowitych wartości parametru m równanie mx² - (m + 2)x + 2 = 0
ma dwa różne pierwiastki całkowite?
2. Wyznacz taką wartość parametru a, aby suma kwadratów pierwiastków rzeczywistych równania x² + (2 - a)x -a -3 = 0 była minimalna.

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-01-27T16:42:12+01:00
Zadanie 1
mx² - (m + 2)x + 2 = 0

Δ = (m + 2)² - 8m = m² + 4m + 4 - 8m = m² - 4m + 4 = (m - 2)²
Δ > 0 => m ≠ 2

x₁ = [(m + 2) - (m - 2)]/2m = 4/2m = 2/m
x₂ = [(m + 2) + (m - 2)]/2m = 2m/2m = 1

x₂ jest zawsze całkowity, więc wystarczy sprawdzić kiedy x₁ jest całkowity

2/2 = 1 (ale z delty m ≠ 2)
2/1 = 2
2/-1 = - 2
2/- 2 = - 1

m ∈ {- 2, - 1, 1}

zadanie 2
x² + (2 - a)x - a -3 = 0

Δ ≥ 0
(2 - a)² + 4(a + 3) ≥ 0
4 - 4a + a² + 4a + 12 ≥ 0
a² + 16 ≥ 0 (równanie zawsze spełnione)

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (a - 2)² - a - 3 = a² - 5a + 1
ramiona paraboli są skierowane do góry więc wartość minimalną funkcja przyjmie dla a wierzchołka

a_w = 5/2 = 2,5

jak masz pytania to pisz na pw