CIĄG ARYTMRTYCZNY I GEOMETRYCZNY
Witam daje 50 pkt za rozwiązanie tych zadań. Zależy mi na czasie, pilne!
Zadanie1.Dany jest Ciag : an= -3n-2
a) Określ monotoniczność ciągu
b) Sprawdz czy ciąg jest arytmetyczny
c)Sprawdz czy jest to ciąg geometryczny
d) Określ które wyrazy ciagu SA wieksze od -78
2. Wyznacz ciąg arytmetyczny, wiedząc że a8 =11 i a21=37
3. Wyznacz Ciąg geometryczny wiedząc że a3 = -3 i a5 = -27
4. Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny jest równa 30 Jeżeli środkowa z nich zmniejszymy o 2, to powstanie ciąg geometryczny. Jakie to liczby?

2

Odpowiedzi

2010-01-28T01:12:20+01:00
Z.1
an = -3n -2
a)
an+1 - an = [-3*(n+1) -2]- [-3n -2] = -3n -3 -2 +3n +2 = -3 < 0
jest to ciąg malejący.
b)
Tak jest to ciąg geometryczny , bo dla dowolnego n mamy
an+1 - an = -3 = r
r = -3
a1 = -3*1 -2 = -5
c)
[an+1] : [an] = [-3*(n+1)-2] : [-3n -2] = [-3n -5]:[-3n -2] =
= 1 + (-3)/(-3n -2)
To nie jest ciąg geometryczny, bo iloraz kolejnych wyrazów nie
jest stałą liczbą ( constans).
d)
an > -78
-3n - 2 > -78
-3n > -78 +2
-3n > -76
n < 76/3 = 25,(3)
n = 25
Odp.25 początkowych wyrazów.
z.2
a8 = 11, a21 = 37
a8 = a1 + 7r
a21 = a1 +20r
-----------------
a21 - a8 = 20r - 7r = 13r , czyli
37 - 11 = 13 r
13 r = 26
r = 2
a1 +7r = a8 = 11
a1 = 11 - 7*2 = 11 -14 = -3
Odp. a1 = -3, r = 2
z.3
a3 = -3, a5 = -27
a3 = a1*q²
a5 = a1*q⁴
a5 : a3 = [a1*q⁴] :[a1*q²] = q²
q² = -27 :(-3) = 9
q = √9 = 3
a1 = a3 : q² = -3 : 9 = -1/3
Odp.
a1 = -1/3 oraz q = 3
z.4
a1,a2,a3 - ciąg arytmetyczny
a1 +a2 +a3 = 30
a1, a2 -2, a3 - ciąg geometryczny
a1 +(a1+r) + (a1 + 2r) = 30
3a1 + 3 r = 30
a1 + r = 10 ---> r = 10 - a1
[a2 -2]/ a1 = a3/(a2 -1)
(a2 -2)² = a1*a3 =a1*(a1 +2r) = (a1)² + 2*a1*r = (a1)² +2*a1*(10-a1)
a2 = a1 + r = 10 , czyli
(a2 -2) =(10-2) = 8
8² = (a1)² +20 *a1 - 2(a1)²
(a1)² - 20 a1 +64 = 0
Δ = 400 -4*64 = 400 - 256 = 144
√Δ = 12
a1 = [20 -12]/2 = 8/2 = 4 lub a1 = [20+12]/2 = 32/2 = 16
r =10 -4 = 6 lub r = 10 - 16 = -6
spr. dla a1 = 4 oraz r = 6
a1 =4, a2 = 4+6 = 10, a3 = 10+6 = 16
a1 +a2 +a3 = 4+10+16 = 30
a1 =4, a2 -2 = 8, a3 = 16
8:4 =2 i 16:8 = 2 - dobrze
spr. dla a1 = 16 oraz r = -6
a1 =16, a2 = 16-6 = 10, a3 = 10 -6 = 4
16 + 10 + 4 = 30
a1 =16, a2 -2 = 10-2 = 8, a3 = 4
a2 /a1 = 8/16 = 1/2
a3/a2-2 = 4/8 = 1/2
Odp.
1) a1 = 4 , a2 =10, a3 = 16
2) a1 = 16, a2 = 10 , a3 = 4
2010-01-28T02:59:35+01:00
Zadanie1.Dany jest Ciag : an= -3n-2
a) Określ monotoniczność ciągu
b) Sprawdz czy ciąg jest arytmetyczny
c)Sprawdz czy jest to ciąg geometryczny
d) Określ które wyrazy ciagu SA wieksze od -78
2. Wyznacz ciąg arytmetyczny, wiedząc że a8 =11 i a21=37
3. Wyznacz Ciąg geometryczny wiedząc że a3 = -3 i a5 = -27
4. Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny jest równa 30 Jeżeli środkowa z nich zmniejszymy o 2, to powstanie ciąg geometryczny. Jakie to liczby?

1]
a)
an = -3n - 2
an₊₁ = -3(n + 1) - 2 = -3n - 3 - 2 = -3n - 5
an₊₁ - an = -3n - 5 - (-3n - 2) = -3n - 5 + 3n + 2 = -3

an₊₁ - an < 0
stąd ciąg jest malejący

b)
an = -3n - 2
an₊₁ = -3n - 5
an₊₂ = -3(n + 2) - 2 = -3n -6 - 5 = -3n - 8
an₊₂ - an₊₁ = -3n - 8 - (-3n - 5) = -3n - 8 + 3n + 5 = -3

an₊₂ - an₊₁ = an₊₁ - an = r = -3
stąd jest to ciąg arytmetyczny

c)
(an₊₂)/(an₊₁) = (-3n - 8)/(-3n - 5) = (3n + 5 + 3)/(3n + 5) =
= 1 + 3/(3n + 5)
iloraz kolejnych wyrazów jest zależny od n, więc nie jest stałą liczbą, stąd ciąg nie jest ciągiem geometrycznym

d)
a₁ = -3*1 - 2 = -5

an = a₁ + (n - 1) * r
an = -5 -3(n-1)

zgodnie z założeniem
an > -78
więc

-5 - 3(n-1) > - 78
-3n + 3 > -73
-3n > - 76 / : (-3)
n < 76/3
n < 25,3(3)
stąd widać, że w grę wchodzi pierwsze 25 wyrazów

2]
a₈ = 11
a₂₁ = 37

a₈ = a₁ + 7*r
a₂₁ = a₁ + 20*r

{ a₁ + 7r = 11 / * (-1)
{ a₁ + 20r = 37

{ -a₁ - 7r = -11 / + (dodajemy stronami)
{ a₁ + 20 r = 37 /

13r = 26 / : 13

r = 2

a₁ = 11 - 14 = -3

an = -3 + 2(n-1)

3]
a₃ = -3
a₅ = -27

an = a₁ * q^(n-1)

a₃ = a₁ * q²
a₅ = a₁ * q⁴

a₅/a₃ = q²

q² = -27 : (-3) = 9
q = 3

a₁ = a₃/q²

a₁ = -1/3

an = -1/3 * 3^(n-1)

4]
a₁
a₂ = a₁ + r
a₃ = a₁ + 2r

a₁ + a₁ + r + a₁ + 2r = 30
3a₁ + 3r = 30 / : 3
a₁ + r = 10
r = 10 - a₁

(a₁ + 2r)/(a₁ + r - 2) = (a₁ + r - 2)/a₁
a₁[a₁ + 2(10 - a₁)] = (a₁ + 10 - a₁ - 2)(a₁ + 10 - a₁ - 2)
a₁(a₁ + 20 - 2a₁) = 64
a₁(-a₁ + 20) = 64
-a₁² + 20a₁ - 64 = 0 / * (-1)

a₁² - 20a₁ + 64 = 0

Δ = 400 - 256 = 144
√Δ = 12

a₁ = 4 lub a₁ = 16
r = 6 lub r = -6

Czyli są dwa rozwiązania:
1)
a₁ = 4
a₂ = 10
a₃ = 16
2)
a₁ = 16
a₂ = 10
a₃ = 4