Proszę o pomoc;
Znaleźć wyraz pierwszy a1 oraz różnicę r ciągu arytmetycznego (an), w którym:
A). a7 - a3 = 8 oraz a2 * a7 = 75
B). a4 : a6 = -1 oraz a2 * a8 = -1
C). a2 + a5 - a3 = 10 oraz a2 + a9 = 17

Nigdzie nie mogę znaleźć sposobu rozwiązywania tego typu zadania :(
Bardziej zależy mi na poznaniu sposobu rozwiązywania niż na gotowej odpowiedzi ale za każdą pomoc będę b. wdzięczny.

2

Odpowiedzi

2010-01-28T08:44:58+01:00
A7=a1+6d
a3=a1+2d
a2=a1+d
podstawiam
a1+6d-a1-2d=8 → 4d=8→d=2
(a1+d)*(a1+6d)=75
(a1+2)*(a1+12)=75
a1²+14a1+24=75
a1²+14a1-51=0
Δ=196+204=400 √Δ=20

a1₁=(-14-20)/2=-17
a1²=(-14+20)/2=3

ODP: dwie odp a1=-17, r=2 lub a1=3,r=2
===========================================

w podobny sposob mozna roziazac dwa nastepne
Najlepsza Odpowiedź!
  • Roma
  • Community Manager
2010-01-28T09:54:29+01:00
A) a₇ - a₃ = 8 oraz a₂ * a₇ = 75
Należy rozwiązać układ równań
( a₇ - a₃ = 8
( a₂ * a₇ = 75
W tym układzie mamy trzy niewiadome a tylko dwa równania, dlatego skorzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
an = a₁ + (n - 1)*r, gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu; r to różnica
stąd
a₇ = a₁ + (7 - 1)*r = a₁ + 6r
a₃ = a₁ + (3 - 1) = a₁ + 2r
a₂ = a₁ + (2 - 1) = a₁ + r
Podstawimy do układu i otrzymamy układ z 2 niewiadomymi a₁ i r, który należy rozwiązać
( a₇ - a₃ = 8
( a₂ * a₇ = 75

( a₁ + 6r - (a₁ + 2r) = 8
( (a₁ + r)*(a₁ + 6r) = 75

( a₁ + 6r - a₁ - 2r = 8
( a₁² + 6a₁r + a₁r + 6r² = 75

( 6r - 2r = 8
( a₁² + 7a₁r + 6r²= 75

( 4r = 8 /:4
( a₁² + 7a₁r + 6r² = 75

( r = 2
( a₁² + 7a₁*2 + 6*2² - 75 = 0

( r = 2
( a₁² + 14a₁ + 24 - 75 = 0

( r = 2
( a₁² + 14a₁ - 51 = 0

Rozwiązać należy równanie kwadratowe
a₁² + 14a₁ - 51 = 0
Δ = 14² - 4*1*(-51) = 196 + 204 = 400
√Δ = 20
a₁ = -14 - 20/2 = -34/2 = -17
a₁ = -14 + 20/2 = 6/2 = 3
Mamy dwa rozwiązania
( r = 2
( a₁ = -17
i
( r = 2
( a₁ = 3

B) a₄ : a₆ = -1 oraz a₂ * a₈ = -1

( a₄ : a₆ = -1
( a₂ * a₈ = -1

a₄ = a₁ + (4 - 1)*r = a₁ + 3r
a₆ = a₁ + (6 - 1)*r = a₁ + 5r
a₂ = a₁ + (2 - 1)*r = a₁ + r
a₈ = a₁ + (8 - 1)*r = a₁ + 7r

( a₄ : a₆ = -1
( a₂ * a₈ = -1

( (a₁ + 3r) : (a₁ + 5r) = -1 /*(a₁ + 5r)
( (a₁ + r) * (a₁ + 7r) = -1

( a₁ + 3r = - (a₁ + 5r)
( a₁² + 7a₁r + a₁r + 7r² = -1

( a₁ + 3r = - a₁ - 5r
( a₁² + 8a₁r + 7r² = -1

( a₁ + a₁ = - 5r - 3r
( a₁² + 8a₁r + 7r² = -1

( 2a₁ = - 8r /:2
( a₁² + 8a₁r + 7r² = -1

( a₁ = - 4r
( (-4r)² + 8*(-4r)*r + 7r² = -1

( a₁ = - 4r
( 16r² - 32r² + 7r² = -1

( a₁ = - 4r
( -9r² = -1 /:(-9)

( a₁ = - 4r
( r² = ¹/₉ → r = ⅓ lub r = -⅓
czyli
( a₁ = - 4r
( r = ⅓
i
( a₁ = - 4r
( r = -⅓

( a₁ = - 4*⅓
( r = ⅓
i
( a₁ = - 4*(-⅓)
( r = -⅓

( a₁ = - ⁴/₃
( r = ⅓
i
( a₁ = ⁴/₃
( r = -⅓

( a₁ = - 1⅓
( r = ⅓
i
( a₁ = 1⅓
( r = -⅓

C) a₂ + a₅ - a₃ = 10 oraz a₂ + a₉ = 17

( a₂ + a₅ - a₃ = 10
( a₂ + a₉ = 17

a₂ = a₁ + (2 - 1)*r = a₁ + r
a₅ = a₁ + (5 - 1)*r = a₁ + 4r
a₃ = a₁ + (3 - 1)*r = a₁ + 2r
a₉ = a₁ + (9 - 1)*r = a₁ + 8r

( a₂ + a₅ - a₃ = 10
( a₂ + a₉ = 17

( a₁ + r + a₁ + 4r - (a₁ + 2r) = 10
( a₁ + r + a₁ + 8r = 17

( a₁ + r + a₁ + 4r - a₁ - 2r = 10
( 2a₁ + 9r = 17

( a₁ + 3r = 10
( 2a₁ + 9r = 17

( a₁ = - 3r + 10
( 2*(- 3r + 10) + 9r = 17

( a₁ = - 3r + 10
( - 6r + 20 + 9r = 17

( a₁ = - 3r + 10
( - 6r + 9r = 17 - 20

( a₁ = - 3r + 10
( 3r = -3 /:3

( a₁ = - 3r + 10
( r = -1

( a₁ = - 3*(-1) + 10
( r = -1

( a₁ = 3 + 10
( r = -1

( a₁ = 13
( r = -1