ZADANIE Z EKONOMI!!!

1.jakiej wysokosci powinien byc miesieczny wklad aby po 10 latach systematycznego oszczedzania uzyskac kwote 100 000 jezeli roczna stopa wynosci 6% i kapitalizacja jest miesieczna?

2. Pan x ma zamiar po ukonczeniu pracy pobierac rente przez 15 lat wyplacana w wysokosci 1 000 miesiecznie. jaki fundusz emerytalny pozwoli na wyplacenie takiej emerytury przy stopie 6%?

3.ile wynosi rata laczna w kredycie na 20 000 splacanym wg rownych rat lacznych wzietego na 10 lat splacanego co miesiac wg stopy rocznej 4%.

1

Odpowiedzi

2010-01-31T11:44:49+01:00
Poprzednią odpowiedź zgłosiłem jako spam, bo jest kompletnie błędna.

Natomiast zadania które nadesłałeś, są dość ciężkie,... jedna spróbuję wytłumaczyć:

3.
Niech K = 20000
K jest kwotą kredytu
Oprocentowanie 4% w skali roku z kapitalizacją miesięczną, czyli co miesiąc dopisywane są odsetki w wysokości 1/3%.
Zatem z kapitału do spłaty K, po pierwszym miesiącu zostanie K + 1/3% K = K * (1 + 1/300) = K * (301/300)
Zatem niech p = 301/300, aby ułatwić zapis.
Ponadto niech x będzie wysokością raty:

Mamy następujące równanie:

(...(((Kp-x)p-x)p-x)...)-x = 0
Powinno w nim być dokładnie 120 razy literka p. (120 - bo spłacamy 120 rat: 10 lat co miesiąc)

Skąd się wzięło to równanie?
Otóż, patrząc od początku:
na początku do spłaty mamy kapitał K
Po miesiącu najpierw są naliczane odsetki od kapitału, więc powstaje nam do spłaty Kp (to jest K razy p).
Następnie płacimy ratę w wysokości x, czyli do spłaty po pierwszym miesiącu pozostaje: Kp - x
Teraz w kolejnych miesiącach jest dokładnie tak samo...
Czyli od kwoty która pozostała do spłaty (w drugim miesiącu pozostało Kp-x) naliczane są odsetki: (Kp-x)p
A potem odejmowana kwota którą spłaciliśmy: (Kp-x)p-x
Potem robimy tak dla wszystkich 120 rat, po ostatniej racie powinniśmy spłacić cały kredyt, czyli kwota pozostała do spłaty po 120 racie powinna wynosić 0

Teraz spróbujemy rozwiązać to równanie:
(...(((Kp-x)p-x)p-x)...)-x = 0

Po chwili zastanowienia można zauważyć, że wygląda ono tak:

Kp^120 = x + xp^1 + xp^2 + xp^3 + ... xp^119

Korzystając z wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego mamy:
x + xp^1 + xp^2 + xp^3 + ... xp^119 =
= x * (p^120 - 1) / (p - 1)

Czyli
Kp^120 = x(p^120 - 1)/(p - 1)
czyli:
x = K * (p^120) * (p - 1) / (p^120 - 1)
Obliczając na kalkulatorze:
p^120 ≈ 1,49083268

Czyli:
x = 20000 * 1,49083268 * (1/300) / (0,49083268) =
= 202,490276

Czyli rata miesięczna powinna wynosić ok. 202,49zł
Wtedy przez 10 lat spłacimy w sumie:
120 * 202,49 = 24298,80


Pozostałe zadania robi się w podobny sposób:

1. Chcemy po 10 latach oszczędzania uzywkać K = 100000
Chcemy oszczędzać x zł miesięcznie
Oprocentowanie 6% rocznie, kapitalizacja miesięczna
Czyli co miesiąc dostajemy 0,5% odsetek.
Niech p = 100,5%, czyli p = 201/200

Znowu konstruujemy równanie:
Najpierw wpłacamy x na konto
Po miesiącu na koncie mamy x * p (w skrócie piszę bez znaku mnożenia: xp)
I potem wpłacamy znowu x, czyli po miesiącu mamy na koncie:
xp + x
Potem od tego znowu naliczane są odcetki i znowu wpłacamy:
(xp+x)p+x
I tak przez 10 lat (czyli 120 miesięcy)
Otrzymujemy równanie:

((...(((xp+x)p+x)p+x)p+...)p+x)p = K
W tym równaniu powinno wystąpić dokładnie 120 razy p.
Przyglądając się dokładniej przekształcamy równanie do postaci:

xp + xp^2 + xp^3 + ... xp^120 = K

Znowu suma szeregu geometrycznego
xp + xp^2 + xp^3 + ... xp^120 = xp * (p^120 - 1)/(p-1)

Czyli:
x * p * (p^120 - 1) / (p - 1) = K
p^120 ≈ 1,819396734
Czyli:
x = K(p-1)/(p(p^120 - 1))
x = 100000 * (1/200) / ((201/200) * (0,819396734))
= 607,1691736
Czyli należy oszczędzać ok. 607,17 zł miesięcnie
Przez 10 lat w sumie wpłacimy składki w wysokości:
120 * 607,17 = 72860,40
Pozostała część brakująca do 100000 będzie pochodzić z odsetek!

Zad 2.
Tutaj jest pytanie o kwotę, nie tłumaczę już tak dokładnie jak powyżej:
K - kwota która znajduje się na funduszu w momencie rozpoczęcia pobierania emerytury
6% rocznie, czyli 0,5% miesięcznie (p = 201/200)
Tutaj jest tak:
Pan X ma zgromadzoną kwotę K na funduszu:
po miesiącu do tej kwoty są dopisywane odsetki i wypłacana jest kwota 1000zł emerytury miesięcnej
Niech x = 1000
Chcemy, aby po 15 latach (180 miesiącach) na funduszu nie pozostało nic, stąd równanie:

(...((Kp-x)p-x)p-...)p-x = 0
Kp^180 = x+xp+xp^2+xp^3+...xp^179

Kp^180 = x(p^180 - 1)/(p-1)
K = x * (p^180 - 1) / ( (p-1) * p^180)
≈ 1000 * 1,454093562 / (1/200) * 2,454093562) =
= 118503,5147