Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
  • Użytkownik Zadane
2009-10-04T21:49:44+02:00
A) log₃²x+2log₃x-8=0
log₃x=y,gdzie x∈R₊
y²+2y-8=0
Δ=4+32=36 y₁=-4, y₂=2
log₃x=-4 czyli 3⁻⁴=x, zatem x=(1/81)
log₃x=2 czyli 3²=x, zatem x=9
Rozw. x=(1/81) lub (x=9)
b) log₂²x-6log₂x+5=0
log₂x=y, gdzie x∈R₊
y²-6y+5=0
Δ=36-20=16, y₁=1, y₂=5
log₂x=1, czyli x=2¹, zatem x=2
log₂x=5, czyli x=2⁵, zatem x=32
c)(log₂x-3)log₂x+(2/3)(log₂x+1)=0
log₂²x-3log₂x+(2/3)log₂x+(2/3)=0
log₂²x-(7/3)log₂x+(2/3)=0
log₂x=y gdzie x∈R₊
y²-(7/3)y+(2/3)=0 /*3
3y²-7y+2=0
Δ=49-24=25, y₁=(1/3), y₂=2
log₂x=1/3, czyli x=2^(1/3), zatem x=∛2
log₂x=2, czyli x=2², zatem x=4
d) log₅³x+2log₅²x-log₅x-2=0
log₅x=y gdzie x∈R₊
y³+2y²-y-2=0
y²(y+2)-1(y+2)=0
(y+2)(y²-1)=0
(y+2)(y-1)(y+1)=0
y=-2 lub y=1 lub y=-1
log₅x=-2 czyli x=5⁻², zatem x=(1/25)
log₅x=1, czyli x=5¹, zatem x=5
log₅x=-1, czyli x=5⁻¹, zatem x=(1/5)
e) log₄³x+2log₄x+3=0
log₄x=y gdzie x∈R₊
y³+2y+3=0
(y³+2y+3):(y-1)=(y²+y+3)
(y-1)(y²+y+3)=0
Dla y²+y+3 Δ=1-4*3=-11<0 zatem nie rozkłada się
Więc tylko y-1=0, zatem y=1.
log₄x=1, czyli x=4¹, zatem x=4.
f) log₂⁴(x-1)+3log₂²(x-1)-4=0
Df: x-1>0 czyli x>1 zatem Df=(1,+∞)
log₂²(x-1)=t, t≥0
t²+3t-4=0
Δ=9+16=25, t₁=1, t₂=-4, t₂ odpada bo nie jest większe lub równe od zera, zostaje tylko t₁=1
Teraz log₂²(x-1)=1, zatem log₂(x-1)=1, zatem log₂(x-1)=log₂²
zatem x-1=2, więc x=2+1=3
KONIEC Trochę to pracochłonne :)
2009-10-04T21:55:50+02:00
OK, to ja też zrobię przykład. Powiedzmy d), żeby się nie dublować.

Zapis log₅³x oznacza logarytm przy podstawie 5 z liczby x poniesiony (logarytm!) do trzeciej potęgi, czyli log₅³x = log₅x * log₅x * log₅x, podobnie log₅²x = (log₅x)²

Założenie x>0.

Stosujemy zmienną pomocniczą np. k = log₅x
wtedy równanie sprowadza się do innego równania:

k³+2k²-k-2=0
widać, że można wyłączyć czynnik przed nawias (k+2)
k²(k+2) - (k+2)=0
(k²-1)(k+2)=0
stąd
(k-1)(k+1)(k+2)=0 [rozkładamy za pomoca wzoru a²-b²=(a+b)(a-b)]
rozwiązania są trzy:
k = 1, k= -1 i k=-2 (każdy z czynników może być równy 0)
ponieważ k = log₅ x, więc mamy trzy równania do rozwiązania:
1 = log₅ x; -1= log₅ x; -2 = log₅ x
log₅5= log₅ x lub log₅ (1/5) =log₅ x lub log₅ (1/25)=log₅ x
czyli
x = 5 lub x = 1/5 lub x = 1/25
Wszystkie rozwiązania są do przyjęcia, bo spełniają założenie.