Dane są punkty A=(2,9), B=(-3,-2), C =(-1,4).
a)Oblicz współrzędne i długość wektora a=½AD+2BC, gdzie D-środek odcinka BC.
b) Wyznacz wektor równoległy do wektora a o długości √34.
c) Znajdź taki punkt P leżący na prostej y=x=1, by wektor AP był prostopadły do wektora AC.

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
  • Roma
  • Community Manager
2010-01-30T23:42:51+01:00
A = (2, 9)
B = (-3, -2)
C = (-1, 4)
a)
Współrzędne punktu D - środka odcinka BC
D = (-3-1/2 , -2+4/2) = (-2, 1)
Współrzędne wektora AD (nad AD strzałka tu tego nie da się zapisać)
AD = [-2-2 , 1-9] = [-4, -8]
Współrzędne wektora BC
BC = [-1+3 , 4+2] = [2, 6]
Współrzędne wektora a
a = ½AD + 2BC
a = ½*[-4, -8] + 2*[2, 6] = [-2, -4] + [4, 12] = [2, 8]
Długość wektora a
|a| = √2² +8² = √4 + 64 = √68 = √4*17 = 2√17

b)
b - wektor równoległy do wektora a o długości √34
b = [x, y]
a = [2, 8]
Skorzystamy z warunku równoległości wektorów
x*8 - y*2 = 0
-2y = -8x /:(-2)
y = 4x

|b| = √34
|b| = √x² + y²
√x² + y² = √34 /²
x² + y² = 34
x² + (4x)² = 34
x² + 16x² = 34
17x² = 34 /:17
x² = 2
x = √2

y = 4x
y = 4√2

b = [√2, 4√2]

c)
P - punkt leżący na prostej y = x - 1
AP _|_ AC
A = (2, 9)
C = (-1, 4)
AC = [-1-2, 4-9] = [-3; -5]
P = (x, y)
AP = [x-2, y-9]
Skorzystamy z warunku prostopadłości wektorów
-3(x - 2) + (-5)(y - 9) = 0
-3x + 6 - 5y + 45 = 0
-3x - 5y + 51 = 0
P∈ y = x - 1, stąd
-3x - 5(x - 1) + 51 = 0
-3x - 5x + 5 + 51 = 0
-8x = -58 /:(-8)
x = 7
y = x - 1
y = 7 - 1 = 6
P = (7, 6)