Prosze o pomoc w rozwiązaniu tych zadań:

1) Wielomian W(x) = -x³ + 5x² + ax + b jest równy wielomianowi P(x) = (x-1)²(c-x) gdzie c ≠ 1
a) Wyznacz a, b i c
b) Dla wyznaczonej wartości parametru c rozwiąż nierówność P(x)≤ 0.

2) Dla jakiego m W(x) = (m-2)x⁴ - 2(m+3)x² + m - 1 = 0 ma 4 różne pierwiastki.

1

Odpowiedzi

2010-02-01T04:05:16+01:00
A)Wielomian W(x) = -x³ + 5x² + ax + b jest równy wielomianowi P(x) = (x-1)²(c-x) gdzie c ≠ 1
gdy mają równe liczby przy współczynnikach tego samego stopnia
P(x) = (x-1)²(c-x)=(x²-2x+1)(c-x)=-x³+x²(c+2)-x(2c+1)+c
P(x)=W(x)<=>c+2=5=>c=3,2c+1=-a=>a=-7,b=c=3
b)P(x)≤ 0 dla c=3 mamy (x-1)²(3-x)≤0 ,x₁₂=1,x₃=3
P(x)≤0<=>x∈[3;+∞)U{1}
zad2
W(x) = (m-2)x⁴ - 2(m+3)x² + m - 1 podstawiając nową zmienna t=x² mamy
W(t)=(m-2)t²-2(m+3)t+m-1 Aby W(x) miał 4 różne pierwiastki ,to W(t) musi mieć dwa dodatnie pierwiastki a zatem
1°Δ>0 i 2°a≠0 i 3°x₁+x₂>0 i 4°x₁*x₂>0
1°Δ=[-2(m+3)]²-4(m-2)(m-1)=4m²+24m+36-4m²+12m-8=36m+28>0 <=>m>-7/9
2°m≠2
3°x₁+x₂=-b/a=2(m+3)/(m-2)>0 <=>m∈(-∞;-3)U(2;+∞)
4°x₁*x₂=c/a=(m-1)/(m-2)>0 <=>m∈(-∞;1)U(2;+∞)
1°2°3°4°m∈(2;+∞)