Zad. Zbadaj monotoniczność podanego ciągu.
a) a1=8 i an+1=an - 3n
b) a1= -10 i an+1= an-5
Mam prośbę. Jeżeli bedzie ktoś rozwiązywał to zadanie to poproszę pisać kiedy badamy znak różnicy i proszę pisać wszystkie szczegóły, ponieważ nie rozumiem tego tematu, czyli, np. jaki to rodzaj monotniczności funkcji, itp. :))
Za zadanie daję 22 pkt.:)))

Czekam.

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-02T13:28:52+01:00
Mam nadzieję,ze dobrze odczytałam tresc zadania
a₁=8 an₊₁-3n z tego wynika,ze kolejny wyraz ciagu powstaje z różnicy wyrazu wcześniejszego i 3krotnego iloczynu ilosci wyrazów
a₁=8 to a₂=a₁-3×1=8-3=5 ,a₃=a₂-3×2=5-6=-1 ,a₄=a₃-3×3=-1-9=-10 itd
widzimy,ze wartosci wyrazów ą coraz mniejsze czyli jest to ciąg malejący
obliczamy teraz różnicę pomiędzy kolejnymi wyrazami ogólnie
an₊₁=an-3×n an₊₂=an₊₁-3×(n+1)
an₊₂-an₊₁=an₊₁-3(n+1)-[ an-3×n ] =an-3×n-3×n-3-an+3×n=-3×n-3 jest to liczba ujemna [n jest liczbą dodatnią,pomnożony przez ujemną daje ujemną]
oznacza to ze dla kazdego n an₊₁ -an<o ciąg malejący
a₁=-10 an₊₁=an-5 czyli a₂=a₁-5=-10-5=-15 a₃=a₂-5=-15-5=-20
ze wzoru widac,że wyraz kolejny jest równy różnicy wyrazu wczesniejszego i 5 czyli różnica między dowolnymi kolejnymi wyrazami ciągu jest stała i wynosi -5
ogolnie an₊₁=an-5 an₊₂=an₊₁-5 czyli an₊₂-an₊₁=an₊₁-5-[ an-5 ]=an-5-5-an+5=-5
dla kazdego n an₊₁-an<0 a więc ciąg jest malejący
2 5 2