Dany jest odcinek o końcach A(-1, 2) , B(7, -4)
a) podaj równanie ogólne prostej AB
b) wyznacz równanie symetralnej s odcinka AB
c) znajdź na symetralnej s punkt C, kt,orego odległość od odcinka AB wynosi 10. Jaka jest odległość punktu C od punktów A i B?
Proszę o dokładne obliczenia.

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-02T20:16:33+01:00
A =(-1 ;2) , B = (7;-4)
a) równanie pr. AB
y = ax + b
2 = -a + b ----> b = 2 + a
-4 =7a + b
-----------
8a = -6
a = -6/8 = -3/4
b = 2 +(-3/4) = 5/4
y =(-3/4)*x + 5/4 , mnożymy przez (-4)
- 4 y = 3 x - 5
3x + 4 y - 5 = 0
Odp. Równanie ogólne pr. AB :
3x + 4y - 5 = 0
b)Wyznacz symetralną odcinka AB
S - środek odcinka AB
S = ((-1+7)/2 ; (2-4)/2) = (3 ; -1)
Symetralna to prosta prostopadła do pr AB i przechodząca
przez punkt S
a*a1 = -1
(-3/4)*a1 = -1 ----> a1 = 4/3
y = (4/3)*x + b1 oraz S = (3 ; -1)
-1 = (4/3)*3 + b1 ----> b1 = -1 - 4 = -5
y = (4/3) x - 5
Odp. y = (4/3) x - 5
c) Znajdź punkt C na symetralnej odległy o 10 od odcinka AB
Jaka jest odległość punktu C od punktów A i B.
Niech P = (x ; y)
wektor SP = [x -3 ;y +1]
ale y = (4/3) x - 5 , zatem y +1 = (4/3) x -4
więc wektor SP = [x-3; (4/3) x - 4]
I SP I² =(x-3)² + [ (4/3) x - 4]² = x² +6x +9 +(16/9)x² -2*(4/3)*4x + + 16 = (25/9) x² - (50/3)x + 25
(25/9) x² -(50/3) x + 25 = 10² = 100
(25/9)x² - (50/3) x - 75 = 0 , mnożymy przez 9
25 x² - 150 x - 675 = 0
Δ = (-150)² - 4*25*(-675) = 22500 + 67 500 = 90 000
√Δ = 300
x1 = [150 -300]/50 = -150 : 50 = -3
x2 = [150 +300]/50 = 450 : 50 = 9
y1 = (4/3)*(-3) -5 = -4 - 5 = -9
y2 = (4/3)*9 - 5 = 12 - 5 = 7
Odp.
Mamy dwa rozwiązania:
C1 = (-3 ;-9) oraz C2 = ( 9 ; 7)
wektor AC2 = [9 +1; 7 -2] = [10 ; 5]
I AC2 I² = 10² + 5² = 125 = 25*5
I AC2 I = 5 √5
wektor BC2 = [9 -7; 7 +4] = [2 ; 11]
I BC2 I² = 2² + 11² = 4 + 121 = 125 = 25*5
I BC2 I = 5 √5
Analogicznie
I AC1 I = 5 √5 oraz I BC1 I = 5 √5




8 4 8