Polecenie: oblicz sume ciagu geometrycznego, ale wystarczy jak znajdziecie roznice tego ciagu
3√2+√2+√2/3+...+√2/2187

wszelki spam bede tepil, tylko prosilbym o rozwiazanie jeszce dzis, bo na jutro mi to potrzebne, wybiore najlepsza odpowiedz

3

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-02T22:06:12+01:00
Mamy więc ciąg, którego pierwsze 3 wyrazy wynoszą:
a₁=3√2
a₂=√2
a₃=√2/3

tak więc znalezienie "q" (w ciągu geometrycznym nazywamy ilorazem nie różnicą) jest proste ze wzoru:
a_n=a₁*q^(n-1)

tak więc przy n=3:
a₂=a₁*q²⁻¹
a₂=a₁*q |:a₁
q=a₂/a₁
q=√2/3√2 = ⅓

q=¹/₃ co łatwo sprawdzić:
a₂=a₁*q
√2=3√2*⅓
√2=√2

oraz:
a₃=a₂*q:
√2/3=√2*⅓
√2/3=√2/3

teraz wystarczy obliczyć sumę... ale by to zrobić trzeba wiedzieć którym wyrazem (n) z kolei jest wyraz: √2/2187

można to łatwo zrobić bo 2187=3⁷:

a_n=a₁*q^(n-1)
√2/3⁷ = 3√2 * (⅓)^(n-1) |:3√2
√2/(3⁷*3√2) = (⅓)^(n-1)
1/3⁷⁺¹ = (⅓)^(n-1)
1/3⁸ = (⅓)^(n-1)

teraz przekształćmy część po lewej stronie i mamy:
(1/3)⁸ = (⅓)^(n-1)

więc by równość zaszła to n=9

co z resztą sprawdźmy:
a₉=a₁*q⁸
√2/2187 =3√2 * (⅓)⁸
√2/2187 = 3√2 * ¹/₆₅₆₁
√2/2187 = √2/2187

czyli się zgadza... n=9
liczymy sumę:

S₉=a₁(1-q⁹)/(1-q)
S₉=3√2*(1-(⅓)⁹)/(1-⅓)
S₉=3√2*(1-(⅓)⁹)/⅔
S₉=3√2*(1-(⅓)⁹) * ³/₂
S₉=9√2/2 * (1-(⅓)⁹)

Można liczyć gdyż (⅓)⁹ = ¹/₁₉₆₈₃ więc:
S₉=3²√2/2 * (¹⁹⁶⁸²/₃⁹)
S₉=9841√2/3⁷
S₉≈6,363
1 5 1
2010-02-02T22:18:55+01:00
3√2+√2+√2/3+...+√2/2187 wynika z tego ciągu,że a₁=3√2,a₂=√2,a₃=√2/3 ,an=√2/2187 zatem z własności ciągu geometrycznego wiemy ,że
q=a₂/a₁ oraz Sn=a₁*(qdon-tej -1)/(q-1) zatem mamy
q=√2/3√2=⅓ ale nie wiemy ile jest wyrazów wiemy że an=√2/2187 oraz an=a₁*qdo(n-1) czyli
√2/2187 =3√2*(⅓)do(n-1) /3√2
(⅓)do(n-1)=1/6561
(⅓)do(n-1) =(⅓)⁸czyli n-1=8 czyli n=9
S₉=3√2*[(⅓)⁹-1]/(⅓-1)=3√2*(-3/2)*(-19682/19683)=177138√2/39366≠6,363637708
1 5 1
2010-02-02T22:40:32+01:00
A(1) = 3√2
a(2) = √2
a(3) = √2 / 3
a(4) = √2 / 9
a(5) = √2 / 27
a(6) = √2 / 81
a(7) = √2 / 243
a(8) = √2 / 729
a(9) = √2 / 2187

q = 1/3

S(9) = a(1) * (1 - (1/3)^9) / (1 - 1/3) =
= 3√2 * (1 - 1/19683) / (2/3) =
= 3√2 * (19682/19683) * 3/2 =
= (3*3*19682) / (2*19683) √2 =
= 19682 / (2*19683) * √2 =
= 9841√2 / (3^7)
1 5 1