Odpowiedzi

2009-10-06T21:40:52+02:00
Dla jakich wartości parametru M okręgi x²+y²+8x-4y+16=0 i x²+y²+2x+2y+2-m²=0 są styczne wewnętrznie? Dla m=√10 wyznacz współrzędne punktów wspólnych tych okręgów.

a)

Sprawdzamy współrzędne pierwszego okręgu przekształcając równanie do postaci:
(x-a)² + (y-b)² =r₂, (a,b) współrzędne środka, r - promień okręgu

I:
x²+y²+8x-4y+16=0
(x+4)²+ (y-2)² -16 -4 +16 =0
[zwinąłem wyrażenie, wypada odjąć 16 i 4, które zostały dodane w kwadracie sumy i różnicy, wtedy nie muszę się zastanawiać, co mam pisać zamiast +16
wychodzi dodatkowe 16: (x+4)² =x² +8x +16, korzystam ze wzoru (a+b)² =a² +2ab +b² ]
(x+4)²+ (y-2)² =4 stąd okrąg ma promień r =2 i środek S₁(-4;2)

podobnie znajdujemy współrzędne drugiego okręgu
II:
x²+y²+2x+2y+2-m²=0
(x+1)² -1 +(y+1)² -1 +2 -m² =0
(x+1)² +(y+1)² = m²
więc okrąg ma promień m (m>0) i środek S₂(-1;-1)

Żeby okrąg był wewnętrznie styczne, to okrąg drugi musi mieć odpowienio duży promień (koniecznie zrób rysunek pomocniczy, zobaczysz dlaczego?)
musi być spełniona równość
|S₁S₂|=m-r

w związku z tym liczymy
|S₁S₂| = pierwiastek[(-1-(-4))² +(-1-2)²]= pierwiastek[(-1+4)² +(-3)²] =
pierwiastek[9 +9] = pierwiastek[2*9] =3√2
stąd 3√2 = m - 2, więc m = 2+3√2

b) współrzędną punktu styczności można obliczyć kilkoma metodami, np. rozwiązując układ równań dwóch okręgów z wstawioną wartością m

{ (x+1)² +(y+1)² = (2+3√2)²
{ (x+4)²+ (y-2)² =4

Ale można też inaczej np, wyznaczając prostą S₁S₂ i punkt wspólny tej prostej i większego okręgu w II ćwiartce układu współrzędnych
I to też zrobimy, może będzie krótszy zapis

równanie prostej (x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1), gdzie (x1;x2) i (x2;y2) to punkty, przez które przechodzi prosta
w naszym przypadku S₁(-4;2) i S₂(-1;-1), więc x1=-4, x2=-1, y1=2, y2=-1
podstawiamy
(-1-(-4))(y-2)=(-1-2)(x-(-4))
(-1+4)(y-2)=(-3)(x+4)
3(y-2)=(-3)(x+4) /dzielimy przez 3
y-2 = -x-4
y = -x -4+2
y = -x -2

a teraz podstawienie do równania okręgu II
(x+1)² +(y+1)² = (2+3√2)²
(x+1)² +(-x-2+1)² = (2+3√2)²
(x+1)² +(-1)²(x+1)² = (2+3√2)²
(x+1)² +1(x+1)² = (2+3√2)²
2(x+1)² = (2+3√2)²
(x+1)² = (2+3√2)²/2
x+1 = -(2+3√2)/√2 [drugie rozwiązanie z plusem pomijamy, bo nie jest w tej ćwiartce)
x =(-2-3√2)/√2
x =(-2-3√2)/√2 [mnozymy licznik i mianownik przez √2]
x =(-2√2-3*2)/2
x = -√2-3
y = -x -2
y = -(-√2-3) -2
y = +√2+3 -2
y = √2+1

Odp. Punkt styczności ma współrzędne (-√2-3;√2+1)
1 5 1