Dane są dwa ciągi geometryczne. pierwszy wyraz a1 ciągu pierwszego jest równy ilorazowi ciągu drugiego, a iloraz q ciągu pierwszego jest równy pierwszemu wyrazowi ciągu drugiego. suma trzech początkowych wyrazów obu ciągów jest jednakowa. wykaż, że a1 = q lub a1q = 1.

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-04T01:32:25+01:00
Suma pierwszych 3 wyrazów ciągu pierwszego wynosi:
a₁ + a₁q + a₁q²
Suma pierwszych 3 wyrazów ciągu drugiego wynosi:
b₁ + b₁Q + b₁Q²

a ponieważ a₁=Q oraz b₁=q, więc skoro sumy są równe, to
a₁ + a₁q + a₁q² = q + qa₁ + qa₁²
a₁(1 + q + q²) = q(1 + a₁ + a₁²)
łatwo zauważyć, że równanie jest spełnione dla a₁=q (wystarczy podstawić).
Po wymnożeniu mamy:
a₁ + a₁q + a₁q² = q + qa₁+ qa₁²
a₁ + a₁q² = q + qa₁²
Jeśli podstawimy a₁q=1, to otrzymamy:
a₁ + q = q + a₁, czyli tożsamość.

Został przeprowadzony tzw. dowód nie wprost, czyli sprawdziliśmy, że podane zależności między a₁ i q spełniają wcześniejsze warunki. Nie wiemy natomiast, czy te rozwiązania są jedynymi, ale o to na szczęście tu nie pytają...