Odpowiedzi

2016-08-29T14:31:04+02:00
Istnieją dwa rodzaje asymptot - asymptota pionowa oraz ukośna. Jest jeszcze asymptota pozioma, która jest szczególnym przypadkiem asymptoty pionowej.

1. Asymptota pionowa - aby sprawdzić czy istnieje należy wyznaczyć dziedzinę funkcji. W tym przypadku D_f=(-\infty;0)\cup(0;\infty). Asymptota pionowa istnieje w punktach wyłączonych z dziedziny, jeśli granice lewo i prawostronna w tym punkcie są równe \pm\infty. No to liczymy:
 \lim_{x \to 0^{-}} ( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} )=0^{2}+\frac{1}{0^{2}}=0+\frac{1}{0}=\frac{1}{0}=+\infty
 \lim_{x \to 0^{+}} ( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} )=0^{2}+\frac{1}{0^{2}}=0+\frac{1}{0}=\frac{1}{0}=+\infty
Zarówna granica lewostronna jak i prawostronna wyszły +\infty, a więc w punkcie x=0 mamy asymptotę pionową obustronną.

2. Asymptota ukośna (być może pozioma) - aby sprawdzić jej istnienie musimy sprawdzić, czy na którymś z krańców dziedziny występuje \pm\infty. W tym przypadku mamy taką sytuację, więc możemy badać istnienie asymptoty ukośnej (poziomej). Asymptota ta jest zwykłą prostą o równaniu y=ax+b, gdzie a= \lim_{x \to \pm\infty} ( \frac{f_{(x)}}{x} ) oraz b= \lim_{x \to \pm\infty} (f_{(x)}-ax). Mamy więc do policzenia tak naprawdę cztery granice, chyba że a wyjdzie nam równe +\infty - wtedy nie ma asymptoty ukośnej, a tym samym poziomej. Liczymy, zaczynając od a:
\lim_{x \to -\infty} ( \frac{f_{(x)}}{x} )=\lim_{x \to -\infty}(\frac{x^{2}+ \frac{1}{x^{2}} }{x})=\lim_{x \to -\infty}( \frac{x^{4}+1}{x^3} )=\lim_{x \to -\infty}( \frac{x^{4}(1+ \frac{1}{x^{4}} )}{x^3} )=\lim_{x \to -\infty}x=-\infty
W tym momencie możemy przerwać liczenie, ponieważ wyszło nam <span>-\infty, więc asymptota ukośna, a tym samym pionowa nie istnieje :)