[1] Oblicz pole i obwód rombu o przekątnych długości 4 i 10.
[2] Oblicz pole i obwód trapezu przedstawionego na rysunku (załącznik).
[3] Z wierzchołka równoległoboku poprowadzono dwie wysokości. Jedna z nich ma długość 5, a druga jest trzy razy dłuższa. Pole tego równoległoboku wynosi 150. Jaki jest jego obwód?
[4] Ile wierzchołków ma wielokąt, jeśli z jednego wierzchołka można poprowadzić 11 przekątnych?
[5] Suma miar czterech kątów pewnego pięciokąta jest równa 400⁰. Jaką miarę ma piąty kąt?
[6] Oblicz długość boku sześciokąta foremnego, który ma takie samo pole jak kwadrat o boku 5.
[7] Jaki jest stosunek długości okręgu do długości promienia tego okręgu?
[8] Jakie pole ma koło, którego obwód wynosi 1m? Wynik podaj z dokładnością do 1cm².
[9] O ile mniejsze jest pole kwadratu o wierzchołkach leżących na okręgu o promieniu 10 od pola koła o takim promieniu?
[10] Narysowany okrąg ma promień długości 2cm. Jaki obwód ma trójkąt ABO (załącznik).
[11] Ile jest okręgów o środku na prostej 'a' stycznych jednocześnie do obu narysowanych okręgów? Podaj długości ich promieni (załącznik).
[12] Ustal ile punktów wspólnych ma okrąg o promieniu 7 z okręgiem o promieniu 12, jeśli odległość między środkami tych okręgów wynosi: a) 4 | b) 5 | c) 7 | d) 15 | e) 20

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-04T20:21:21+01:00
1)
Pole rombu można obliczyć ze wzoru P=½e*f... czyli dla nas:
P=½e*f = ½*4*10 = 2*10 = 20 [j²]

Przekątne przecinają się w połowie pod kątem prostym i dzielą się na 4 identyczne (czyt. przystające) trójkąty prostokątne. Więc bok możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:
2²+5²=a²
4+25=a²
a²=29
a=√29

Obwód = 4a = 4√29

2) Nie znamy czwartego boku trapezu - który jest przy okazji jego wysokością, ale znów możemy go prosto obliczyć z twierdzenia Pitagorasa (gdyż 29 jest przeciwprostokątną):
http://i46.tinypic.com/9kw0w0.jpg

21²+h²=29²
441+h²=841
h²=841-441
h²=400
h=√400=20

i teraz liczymy pole ze wzoru:
P=½(a+b)*h = ½(20+41)*20 = ½*61*20 = 10*61 = 610 [j²]

Obwód= 20+20+29+21 = 90

3) Pole równoległoboku to:
P=h₁*a
lub:
P=h₂*b

wiemy, że druga jest trzy razy dłuższa od pierwszej - tj: h₂=3*h₁ = 3*5=15

P=h₁*a
150=5*a |:5
150/5=a
a=30

P=h₂*b
150=15*b |:15
b=10

mamy boki równe a=30, b=10, obwód:
Obwód=30+30+10+10=80

4) Wzór na ilość przekątnych w wielokącie wygląda tak:
Przekątne=n(n-3)/2

gdzie "n" jest liczbą boków/wierzchołków, sprawdźmy dla kwadratu:
Przekątne=4(4-3)/2
Przekątne=4/2
Przekątne=2

i zgadza się bo kwadrat ma dwie przekątne... teraz my wiemy ile mamy przekątnych, ale nie wiemy ile jest wierzchołków:
Przekątne=n(n-3)/2

"normalnie" taki wzór byłby dobry, ale my wiemy, że z jednego wierzchołka wyprowadzonych jest 11 przekątnych... ile jest wszystkich przekątnych? 11*ilość_wierzchołków:
Przekątne*n=n(n-3)/2
11*n=n(n-3)/2 |*2
22n=n(n-3) |:n
22=n-3
n=25

tak więc mamy aż 25 wierzchołków.

5) Suma miar kątów w pięciokącie równa się 540⁰. Skoro cztery wynoszą 400⁰ to piąty musi uzupełnić do 540⁰ czyli ma 140⁰

6) Kwadrat o boku 5 ma pole P=a²=5²=25
Więc pole sześciokąta foremnego to 25 [j²]. Jednak sześciokąt foremny to nic innego jak sześć trójkątów równobocznych. Tak więc suma pól sześciu trójkątów równobocznych wynosi 25 [j²]. Pole jednego takiego trójkąta liczymy ze wzoru (a²√3)/₄
6P=6*(a²√3)/₄ = 3*(a²√3)/₂

wiemy, że:
3*(a²√3)/₂ = 25[j²]

liczymy a:
3*(a²√3)/₂ = 25 |*⅔
a²√3=⁵⁰/₃ |:√3
a²=50/3√3

usuwamy niewymierność z mianownika:
a²=50/3√3 * √3/√3 = 50√3/9 |√
a=√(50√3/9)

7) Długość okręgu to 2πr, natomiast promień to r. Stosunek jest ułamkiem:
2πr/r = 2π

8) Obwód = 1m

obwód liczymy ze wzoru 2πr:
Obwód=2πr
1m=2πr

policzmy promień:
1m=2πr |:2π
r=1m/2π

teraz liczymy pole (ze wzoru πr²)
Pole=πr²
πr²=π(1m/2π)² = π(1m)²/(2π)² = π1m²/4π² = 1m²/4π = m²/4π

m=100cm
m²=(100cm)² = 10000cm²
π≈3,14159

πr² = m²/4π = 10000cm²/4*3,14159 = 2500/3,14159 ≈ 795,8cm² ≈ 796cm²

9) Pole koła o promieniu 10 to:
Pk=πr² = π*10²=100π

Mamy taką o to sytuacje: http://i48.tinypic.com/13yh27q.jpg
Widzimy, że promień okręgu to nic innego jak połowa przekątnej kwadratu (przekątna kwadratu = a√2), więc:
a√2/2 = 10

liczymy bok kwadratu:
a√2/2 = 10 |*2
a√2=20 |:√2
a=20/√2

usuwamy niewymierność z mianownika:
a=20/√2 = 20/√2 * √2/√2 = 20√2/2 = 10√2

Pole kwadratu to a²
P=a²=(10√2)²=100*2=200

Pole koła --- 100π
Pole kwadratu --- 200

liczymy o ile mniejsze jest pole kwadratu:
Pole koła - Pole kwadratu = 100π - 200 = 100*(3,1415927) - 200 ≈ 114,159

Pole koła jest większe o jakieś 114 [j²]

10) Robimy coś takiego: http://i48.tinypic.com/jzxkat.jpg

Jako, że trójkąt jest równoramienny (oba boki 12cm) oraz kąt między ramionami wynosi 60⁰ to trójkąt jest... równoboczny (będzie więc miał wszystkie trzy boki=60⁰)

Obwód=3a=12cm+12cm+12cm=36cm

11) Dwa... jeden w środku i jeden na zewnątrz - ten po środku łatwo sobie wyobrazić, a na zewnątrz:

Wyraźnie widzimy, że okrąg w środku miałby średnicę długości 2. Więc promień jest równy 1. Natomiast naszego z rysunku promień to średnica jednego okręgu + średnica drugiego + odcinek o długości 2:
r=1+1+2+1+1=6

12) Mamy dwa okręgi... jeden o promieniu 7 inny o promieniu 12. Styczne będą gdy odległość środków będzie równa długości obu promieni (19). Przetną się (w dwóch punktach) gdy odległość ta będzie mniejsza, a nie przetną się (zero punktów wspólnych) gdy odległość jest większa. To przy założeniu, że mówimy o odległości minimum 12-7=5, czyli:

dla 7: dwa punkty wspólne
dla 15: dwa punkty wspólne
dla 20: zero punktów wspólnych

dla 5: okręgi będą styczne wewnętrznie (ten mniejszy będzie w środku) - jeden punkt wspólny
dla 4) znów brak punktów wspólnych.
49 4 49