Suma pierwszego i czwartego wyrazu ciągu geometrycznego jest równa 48, a suma drugiego wyrazu i piątego jest równa 24.
a) Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.
b) Podaj wzór na ogólny wyraz tego ciągu.
c) Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu.

2

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-02-05T12:12:08+01:00
A1 + a4 = 48
korzystam ze wzoru na kolejny wyraz ciągu
a4=a1 * q^3
a1 + a1 * q^3 = 48

suma drugiego i piątego wyrazu ciąg jest równa 24
a2 + a5 = 24
ale a2=a1 * q oraz a5=a1 * q^4
a1 * q + a1 * q^4 = 24
a).wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciagu
a1 + a1 * q^3= 48
a1 * q + a1 * q^4 = 24

a1(1 + q^3)= 48
a1 * q(1 + q^3)= 24

(1+q^3)= 48/a1
a1 * q(1 + q^3) = 24
a1 * q(1 + q^3) = 24
a1 * q * 48/a1 = 24
48q = 24 /: 48
q=1/2

(1+q^3)= 48/a1
(1 + (1/2)^3 )= 48/a1
(1 + 1/8) = 48/a1
9/8 = 48/a1
9a1 = 8 * 48
9a1 = 384 /: 9
a1 = 42 i 2/3

b).podaj wzór na ogólny wyraz tego ciągu
an=a1 * q^(n-1)
an = 42 i 2/3 * (1/2)^(n-1)
an = 128/3 * (1/2)^(n-1)
an = 128/3 * (1/2)^n * (1/2)^(-1)
an = 128/3 * (1/2)^n * 2
an = 256/3 * (1/2)^n
c).oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu
Sn = a1 * (1-q^n)/(1-q)
S8=128/3 * [ 1 - (1/2)^8 ]/(1-1/2)
S8=128/3 * (1-1/256)/(1/2)
S8 = 128/3 * 255/256 * 2
S8=85
2 2 2
2010-02-05T12:29:47+01:00
Suma pierwszego i czwartego wyrazu ciągu geometrycznego jest równa 48, a suma drugiego wyrazu i piątego jest równa 24.
a) Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.
b) Podaj wzór na ogólny wyraz tego ciągu.
c) Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu.

a) wyznaczam a1 i q
a1,
a2 = a1*q
a3 = a1*q²
a4 =a1*q³
a5 = a1*q⁴

a1 + a4 = 48
a2 + a5 = 24

a1 + a1*q³ = 48
a1*q + a1*q⁴= 24

a1(1 + q³) = 48
a1q(1 + q³) = 24

(1 + q³ ) = 48 : a1
(1+ q³) = 24 : a1*q

porówuje prawe strony obu równań
48 : a1 = 24 : a1*q
48*a1*q = 24*a1 /: a1
48q = 24
q = 24 :48
q = 1/2
Obliczam a1
a1(1 + q³) = 48
a1 = 48 : (1 + q³)
a1 = 48: [1 + (1/2)³]
a1 = 48 : [ 1 + 1/8]
a1 = 48 : 9/8
a1 = 48*8/9
a1 = 128/3

a1= 128/3
q = 1/2

b)
an = a1 *q do potegi (n-1)
an = 128/3*(1/2) do potęgi (n-1)

c) Sn = a1*(1-q do potegi n): (1-q)
S8 = 128/3*[ 1- (1/2)⁸] : (1-1/2)
S8 = 128/3*[ 1-1/256] : 1/2
S8 = 128/3*[ 255/256] *2
S8 = 255/3
S8 = 85

Sume 8-iu wyrazóq ciągu geometrycznego można obliczyć też inaczej

a1 = 128/3
a2 = a1*q = (128/3)*(1/2 )= 64/3
a3= a1*q² = (128/3)*(1/2)² = (128/3)*(1/4 )= 32/3
a4 = a1*q³ = (128/3)*(1/2)³ =( 128/3)*(1/8) = 16/3
a5 = a1*q⁴ = (128/3)*(1/2)⁴ = (128/3)*(1/16) = 8/3
a6 = a1*q⁵ = (128/3)*(1/2)⁵ = (128/3)*( 1/32) = 4/3
a7 = a1*q⁶ = (128/3)*(1/2)⁶ = (128/3)*(1/64) = 2/3
a8 = a1*q⁷ = (128/3)*(1/2)⁷ = (128/3)*(1/128) = 1/3

S8 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8
S8 = 128/3 + 64/3 + 32/3 + 16/3 + 8/3 + 4/3 + 2/3 + 1/3
S8= 255/3
S8 = 85