Odpowiedzi

2009-10-07T20:59:35+02:00
Równanie okręgu ma postać (x-xs)²+(y-ys)²=r².
Sporządź rysunek w układzie współrzędnych. Gdy narysujesz dane punkty A i B, to zauważysz, że środek okręgu leży w połowie ich odległości od siebie (ich odległość to 4, a promień okręgu to 2, zatem są to 2 najbardziej oddalone punkty od siebie), czyli dodajesz współrzędne y od siebie i dzielisz na 2: (5+1)/2=3. Zatem środek okręgu leży w punkcie S=(-3,3). Podstawiamy do wzoru na równanie okręgu i otrzymujemy (x-3)²+(y+3)²=2², czyli (x+3)²+(y-3)²=4 - szukane równanie okręgu.
Edit: błąd we współrzędnej y środka okręgu.
Najlepsza Odpowiedź!
2009-10-07T21:02:14+02:00
Napisz równanie okręgu o promieniu r = 2 przechodzącego przez punkty A(-3,5) B(-3,1)

Rozwiązanie

Metoda I.
Skorzystajmy z równania okręgu. Wiemy, że punkty leżą w tej samej odległości od środka okręgu, więc wystarczy znaleźć punkt wspólny między dwoma okręgami o środkach A i B i promieniu r = 2. Prawdopodobnie wyjdą dwa rozwiązania (patrz: konstrukcja symetralnej odcinka).

Równanie okręgu:
(x-a)² + (y-b)² = r²; (a;b) współrzędne środka, r - promień okręgu

stąd otrzymujemy układ równań
{(x+3)² + (y-5)² = 2²
{(x+3)² + (y-1)² = 2²

{(x+3)² = 4 -(y-5)²
{(x+3)² = 4 -(y-1)²
stąd
4 -(y-5)² = 4 -(y-1)²
(y-5)² = (y-1)²
y²-10y+25 = y²-2y+1
-8y =-24
{y = 3
{(x+3)² + (3-5)² = 4

{y = 3
{(x+3)² + 4 = 4

{y = 3
{(x+3)² = 0

{y = 3
{x+3 = 0

{y = 3
{x =-3
czyli środek okręgu ma współrzędne S(-3;3)
Równanie szukanego okręgu:
(x+3)² + (y-3)² = 4

Wyszło jedno rozwiązanie. Dlaczego? Odpwiedź w drugiej metodzie :-)

Metoda II.
Można zauważyć, że odległość między punktami A i B wynosi 4, bo pierwsza współrzędna obu punktów jest identyczna i punty A i B wyznaczają odcinek pionowo umieszczony w prostokątnym układzie współrzędnych.
Środek okręgu będzie w środku odcinka, więc ma współrzędne:
x = -3; y = (1+5)/2 = 3

Równanie okręgu
(x+3)² + (y-3)² = 4

Wnioski? Najpierw zrobić rysunek pomocniczy! :-)
3 2 3
2009-10-07T22:55:25+02:00
Napisz równanie okręgu o promieniu r = 2 przechodzącego przez punkty A(-3,5) B(-3,1)

Równanie okręgu:
(x-a)² + (y-b)² = r²; (a;b) współrzędne środka, r - promień okręgu

podstawiamy njpierw jeden punkt potem drugi otrzymujemy układ równań
{(x+3)² + (y-5)² = 2²
{(x+3)² + (y-1)² = 2²

{(x+3)² = 4 -(y-5)²
{(x+3)² = 4 -(y-1)²
stąd
4 -(y-5)² = 4 -(y-1)²
(y-5)² = (y-1)²
y²-10y+25 = y²-2y+1
-8y =-24
{y = 3
{(x+3)² + (3-5)² = 4

{y = 3
{(x+3)² + 4 = 4

{y = 3
{(x+3)² = 0

{y = 3
{x+3 = 0

{y = 3
{x =-3
czyli środek okręgu ma współrzędne S(-3;3)
Równanie szukanego okręgu:
(x+3)² + (y-3)² = 4
3 2 3