Proszę o rozwiązanie zadań z przykładowego arkusza maturalnego, który jest w załączniku lub na stronie internetowej: http://www.zsmors.aplus.pl/matura/arkusz_proba_2.pdf .

Mam odpowiedzi do tego testu, potrzebuje ROZWIĄZANIA TYCH ZADAŃ!!! MOŻNA NIE ROZWIĄZAĆ 2 ZADAŃ MAX!!!!
NIE ZASTOSOWANIE SIĘ DO ZASAD ZGŁASZAM DO ADM.!!!!!
Z GÓRY DZIĘKI.

2

Odpowiedzi

2010-02-07T10:38:59+01:00
W załączniku przesyłam rozwiązania do zadań zamkniętych. Wieczorem podeślę rozwiązania zadań otwartych.
Jak obiecałem przesyłam rozwiązania zadań otwartych
2010-02-07T16:19:36+01:00
Zad. 29
Trzeba na rysunku zaznaczyć dwa pionowe odcinki MK i ML
(punkty K, M i L leżą na jednej prostej),
Punkt K leży na boku prostokąta AB,
Punkt L leży na boku prostokąta CD.
Mamy wtedy:
I)
/AM/^2 + /CM/^2 = /AK/^2 + /KM/^2 + /ML/^2 + /LC/^2
/AM/^2 = /AK/^2 +/KM/^2 (z tw. Pitagorasa w trójkącie AKM)
/CM/^2 = /ML/^2 + /LC/^2 (z tw. Pitagorasa w trójkącie CLM

I)
/BM/^2 +/DM/^2 = /BK/^2 + /KM/^2 + /ML/^2 + /DL/^2
/BM/^2 = /BK/^2 + /KM/^2 (z tw. Pitagorasa w trójkącie BKM)
/DM/^2 = /ML/^2 + /DL/^2 (z tw. Pitagorasa w trójkącie DLM
Zauważyć można, że:
AK = DL i LC = BK (odcinek KL jest prostopadły do AB),
więc
wyrażenie /AK/^2 + /KM/^2 + /ML/^2 + /LC/^2
jest równe wyrażeniu
/BK/^2 + /KM/^2 + /ML/^2 + /DL/^2
czyli
/AM/^2 + /CM/^2 = /BM/^2 +/DM/^2
co należało udowodnić.
Zad. 28
ΔABC jest równoboczny
AB = 8
AD = DB = ½ AB = 4
AS = BS = 7
DS to wysokość ostrosłupa, czyli DS jest prostopadły do podstawy ostrosłupa
czyli DS ┴ DC (wysokość podstawy to wysokość trójkąta równobocznego ABC )
I)
Z tw. Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ΔSDB
można obliczyć długość wysokości ostrosłupa,
czyli długość odcinka DS.:
DS^2 + DB^2 = BS^2
DS^2 + 4^2 = 7^2
DS^2 = 7^2 - 4^2
DS^2 = 49 – 16 = 33
DS= √33
Następnie z tw. Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ΔSDC
można obliczyć długość krawędzi CS:
DS^2 + DC^2 = CS^2
najpierw obliczamy długość odcinka DC (wysokość podstawy)
wzór na wysokość trójkąta równobocznego
DC = (AB√3)/2 = 4√3
DS^2 + DC^2 = CS^2
33 + (4√3)^2 = CS^2
33 + 48 = CS^2
CS^2 = 81
CS = √81 = 9
Odp. Długość krawędzi CS wynosi 9
Zad. 26
Pojemność zbiornika 700 m^3
I rura
x + 5 – ilość wody na godzinę [m^3/h]
II rura
x – ilość wody na godzinę [m^3/h]
Razem - ilość wody na godzinę
2x +5 [m^3/h]
Ilość godzin potrzebnych do napełnienia zbiornika
obu rurami jednocześnie :
700 [m^3] / (2x + 5) [m^3/h] = 700/(2x + 5) [h]
Ilość godzin potrzebnych do napełnienia zbiornika
pierwszą rurą:
700 [m^3] / (x + 5) [m^3/h] = 700/(x+5) [h]
Ilość godzin potrzebnych do napełnienia zbiornika
drugą rurą:
700 [m^3] / x [m^3/h] = 700/x [h]
czas napełnienia zbiornika I rurą jest o 16godzin krótszy niż II rurą
czyli mamy równanie:
700/(x+5) = 700/x – 16 {sprowadzamy do wspólnego mianownika x}
700/(x+5) = 700/x – 16x/x
700/(x+5) = (700-16x)/x
700x = (x+5)(700-16x)
700x = 700x – 16x^2 – 80x + 3500
700x – 16x^2 – 80x + 3500 –700x = 0
– 16x^2 – 80x + 3500 = 0 /:(-4)
4x^2 + 20x – 875 = 0
delta = 20^2 – 4*4*(-875) = 400 + 14000= 14400
pierwiastek z delty = 120
x1 = (-20 + 120)/8 = 100/8 = 12,5
{x2 = ( -20 – 120)/8 liczba ujemna odrzucamy}
Ilość godzin potrzebnych do napełnienia zbiornika
obu rurami jednocześnie :
700/(2x + 5) = 700: (2* 12,5 + 5) = 700 : 30 =
70 : 3 = 23 i 1/3
Odp. Pusty zbiornik zostanie napełniony obu rurami jednocześnie
w ciągu 23 i 1/3 godziny.
Zad. 25
a1 = x - 2 pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego
a2 = 3 drugi wyraz ciągu arytmetycznego
a3 = x + 6 trzeci wyraz ciągu arytmetycznego
Z własności ciągu arytmetycznego
(różnica kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest taka sama) :
a2 – a1 = a3 – a2
3 – (x - 2) = (x + 6) – 3
3 – x + 2 = x + 6 – 3
5 – x = x + 3
2x = 5 – 3 = 2
x = 1
Odp. x = 1
Zad. 24
X1 = 5
X2 = 3
X3 = 6
X4 = x
X5 = 3
Średnia arytmetyczna = 4
Korzystamy z wzoru na średnią arytmetyczną:
(X1 + X2 + X3 + X4 + X5)/ 5 = 4
5 + 3 + 6 + x + 3 = 4*5
17 + x = 20
x = 20 – 17 = 3
wyniki 5, 3, 6, 3, 3
mediana to wartość środkowa, czyli
ustawiamy wyniki od najmniejszej do największej
3, 3, 3, 5, 6
i ponieważ liczba wyników jest nieparzysta (5 wyników)
medianą jest wartość wyników w środku (5+1)/2 = 3
Odp. Ocena x jest równa 3, mediana jest też równa 3.
Zad.23
Przyprostokątna a leżąca naprzeciw kąta ostrego alfa
i przyprostokątna b leżąca przy kącie ostrym alfa:
a = 2
b = 4
c przeciwprostokątna
sin alfa * cos alfa = a/c * b/c = (a*b)/(c^2) =
(a*b)/( a^2 + b^2) = (2*4)/(2^2 + 4^2) = 8/(4+16) = 8/20 = 2/5
[z tw. Pitagorasa: c^2 = a^2 + b^2 ]
Odp. Sin alfa* cos alfa = 2/5
Zad.22
x^3 – 4*x^2 – 3x +12 = 0
x^2(x –4) –3(x –4) = 0
wyłączamy(x-4) przed nawias
(x –4)(x^2 –3) = 0
x - 4 = 0, stąd x = 4
lub x^2 – 3 = 0 [korzystamy ze wzoru a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)]
(x-pierwiastek kwadratowy z 3)(x + pierwiastek kwadratowy z 3) = 0
x = minus pierwiastek kwadratowy z 3
lub x = plus pierwiastek kwadratowy z 3
Odp. Pierwiastkami równania są liczby: 4,
minus pierwiastek kwadratowy z 3, plus pierwiastek kwadratowy z 3.
Zad.21
Obliczamy długość boku AB
IABI = pierwiastek kwadratowy z [(4+3)^2 + (-1+5)^2] =
pierwiastek kwadratowy z [7^2 + 4^2] =
pierwiastek kwadratowy z [49 + 16] =
pierwiastek kwadratowy z [65]
Obliczamy długość boku BC
IBCI = pierwiastek kwadratowy z [(-2-4)^2 + (3+1)^2] =
pierwiastek kwadratowy z [(-6)^2 + 4^2] =
pierwiastek kwadratowy z [36 + 8] =
pierwiastek kwadratowy z [44]
Obliczamy długość boku CA
ICAI = pierwiastek kwadratowy z [(-2+3)^2 + (3+5)^2] =
pierwiastek kwadratowy z [1^2 + 8^2] =
pierwiastek kwadratowy z [2 + 64] =
pierwiastek kwadratowy z [65]
Odp.
Ramię trójkąta równoramiennego ma długość
pierwiastek kwadratowy z [65]
Zad.20
y = -7x +2
równanie prostej przechodzącej przez P = (0,1)
y = ax + b (za x wstawiamy 0, za y wstawiamy 1)
1 = a*0 +b
b = 1, prosta ma wzór y = ax + 1
prosta y = ax + 1 ma być prostopadła do prostej y = -7x + 2,
więc iloczyn współczynników kierunkowych = -1
a*(-7) = -1 /:(-7)
a = 1/7
prosta ma wzór y = ax + 1 = 1/7x + 1
Odp. C
Zad.19
x^2 > 4x
x^2 - 4x > 0
x(x-4) > 0 (ramiona paraboli do góry a = 1>0)
miejsca zerowe:
x1 = 0 lub x = 4
(-nieskończoność; 0) U (4; + nieskończoność)
Zad.18
log 12 = log(3*4) = log3 + log4
log (a*b) = log a + log b
Zad.17
a(n) = (-1)^n * (n^2 – 2n) = (-1)^n * n*(n-2)
a1 = (-1)^1*(1^2 –2*1) = (-1)*(1-2) = (-1)*(-1) = 1
a2 = 0
a3 = (-1)^3*(3^2 –2*3) = (-1)(9-6) = (-1)*3 = -3
a3<2 Odp. C
Zad.16
Sześcian ma 3*4 = 12 krawędzi
24 : 12 = 2
V = a*a*a = a^3 = 2*2*2 =8
Odp. D
Zad.14
Wzór na równanie okręgu S=(a,b) i promień r
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
S=(1, -2), r = 2
(x - 1)^2 + (y +2 )^2 = 2^2
(x - 1)^2 + (y +2 )^2 = 4
Odp.C
Zad.15
(2x+1)/x = 3x, x nie może być zerem
2x+1 = 3x*x
2x+1 = 3x^2
3x^2 – 2x –1 = 0
delta = (-2)^2 – 4*3*(-1) = 4 + 12 = 16
pierwiastek z delty 4
obliczamy pierwiastki
x1 = (2-4)/6 = (-2)/6 = -1/3
x2 = (2+4)/6 = 6/6 = 1
Odp. A
Zad.13
DE/AE = DC/AB (tw. Talesa, proporcjonalność odcinków)
DE = x, AE = x + 24
x/(x+24) = 20/32 (proporcja)
32x = 20(x+24)
32x = 20x + 480
32x-20x = 480
12x = 480
x = 480:12 =40
DE= 40
Odp. B
Zad.12
W zadaniu można zauważyć , że wzór funkcji
f(x) = (x-3)^2 – 2 zapisany jest w postaci kanonicznej
f(x) = a*(x - p)^2 + q, gdzie p = 3, q = -2
wierzchołek paraboli (3,-2), a>0
więc ramiona do góry
prosta o równaniu y = -3 nie ma punktów wspólnych
(równoległa do osi x przechodząca przez punkt o współrzędnych (0,-3)
poniżej naszego wykresu)
Odp. A (y = -3)
Zad.10
Wzór [zapis wyrazu ciągu: a(n) nty wyraz ciągu, pierwszy wyraz a(1)]
a(n) = a1*q^(n-1) [q do potęgi n-1]
a3 = 4, a3 = a1*q^2 = 4
a5 = 1, a5 = a1*q^4 = 1
Rozwiązujemy układ równań
a1*q^2 = 4,
a1*q^4 = 1,
z drugiego równania mamy [wstawiamy za a1*q^2 = 4]
a1*q^4 = a1*q^2*q^2=4*q^2 = 1, stąd q^2 = ¼ ,
wracamy do równania pierwszego [wstawiamy q^2 = ¼]
a1*q^2 = 4, a1*1/4 = 4, a1 = 4*4 = 16
Odp. C
Zad. 11
Wielościan ma podstawę o liczbie n krawędzi,
więc krawędzi bocznych jest co najmniej n
2n = 6
n = 3
czyli 1 podstawa i 3 ściany boczne
razem cztery ściany
[najmniejsza liczba boków wielokąta podstawy to trzy, wtedy mamy trójkąt]
Odp.A
Zad.7
Wiemy, że sin 30 stopni = ½, a sin 45 stopni =( pierwiastek z2)/2
Stąd
¾ > ½ oraz ¾ >( pierwiastek z2)/2 [(1,41..../2 ) = 0,71...< ¾ = 0,75]
więc kąt ostry jest większy od 45 stopni
Odp. D
Zad.8
7^(4/3)(pierwiastek stopnia trzeciego z 7^5) =
7^(4/3)( 7^(5/3) = 7^(9/3)=7^3
{tw. o mnożeniu potęg o tej samej podstawie;
podstawy równe, wykładniki dodajemy}
(pierwiastek stopnia trzeciego z 7^5) = (7^5)^(1/3)= 7^(5/3)
Odp. B
Zad.9
X należy do przedziału zamkniętego <-1,8>
Dla argumentu x = -1 wartość y = -1
Dla argumentu x = 6 wartość największa y = 4
Dla argumentu x = 8 wartość y = 1
Wykres jest linią ciągłą, więc wartości funkcji
mieszczą się w przedziale zamkniętym między
-1 i 4, ponieważ wartość największa jest równa 4
Odp. C
Zad.6
Funkcja składa się z dwóch części wykresu:
a)dla x<= 3 f(x) = x-4
Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0
f(x) = 0, więc x-4 = 0, stąd x = 4, ale dziedziną są argumenty
mniejsze lub równe 3, więc w tej części dziedziny nie ma miejsc zerowych.
b) dla x>3 f(x) = –x + 2
f(x) = 0, więc –x + 2 = 0, stąd x = 2, ale dziedziną są argumenty większe od 3
więc w tej części nie ma miejsc zerowych
Odp. A (nie ma miejsc zerowych czyli liczba 0)
Zad.4
I) 6% to 6, więc 1% to 1
100% to 100
Odp. D
II) lub inaczej
6% liczby x = 6
x = 6 : 6% = 6 : 0,06 = 600 : 6 = 100
Zad.5
Dwa sąsiednie kąty równoległoboku mają razem 180stopni
Czyli
Kąt rozwarty x, kąt ostry x-30
Razem
x + (x-30) = 180
2x = 180 + 30
2x = 210
x = 105
lub inny sposób
180 + 30 = 210
210 : 2 = 105
Odp. A
Zad.3
{Piszę ‘lub’ zamiast znaku sumy zbiorów, takie U
Zamiast znaku iloczynu zbiorów odwrócone U
Piszę ‘i’}
P(A lub B) = P(A) + P(B) –P(A i B)
Stąd
P(A i B) = P(A) + P(B) - P(A lub B)
P(A i B) = 0,5 + 0,3 – 0,7 = 0,8 – 0,7 = 0,1
P(A i B) = 0,1<0,2
Odp. C
Zad.2 (piszę >= zamiast znaku podwójnego)
/x-3/ >= 1
a) Zał. dla x>=0 {z def. wartości bezwzględnej}
x-3>=1
x>=4
b) Zał. dla x<0
-(x-3) >=1
-x+3>=1
-x>=1-3
-x>=-2 /*(-1)
x<=2
Odp. A) x<=2 i x>=4
Zad.1
2^20* 4^40 = 4^10 * 4^40 = 4^50
Odp. B

1 5 1