Odpowiedzi

2010-02-07T01:03:13+01:00
Więc należy zrobić tylko drugie i trzecie?

2) Można zrobić na dwa sposoby - postacią trygonometryczną lub "na czuja"... zrobię obiema metodami:

a) i⁹(i-1)¹² = i*(i²)⁴ * ((i-1)²)⁶ = i*(-1)⁴ * (i²-2i+1)⁶ = i * (-1+2i+1)⁶ = i * (2i)⁶ = i*2⁶*i⁶ = 64*i*(i²)³ = 64*i*(-1)³ = -64i

teraz postacią trygonometryczną:

znając wzór de Moivre'a mamy:
z^n=r^n(cos*n*φ + isin*n*φ)

r=|z|, φ= arg z

i⁹(i-1)¹²

rozpiszmy więc drugą część iloczynu... szukamy |z|:
|i-1| = √(1²+(-1)²) = √2

a teraz szukamy arg z:
najłatwiej to narysować na wykresie zespolonym i będziemy mieli czwartą ćwiartkę oraz kąt: φ=7π/4

i liczymy
z¹²=(√2)¹² * (cos*12*7π/4+isin*12*7π/4)
z¹²=64 * (cos21π + isin21π)

cos21π = cosπ = -1
sin21π = sinπ = 0

z¹²=64 * (-1 +i*0) = -64

i⁹(i-1)¹² = i⁹ * -64

oczywiście z i⁹ można zrobić analogicznie, ale już nie będę tego rozpisywał:
i⁹(i-1)¹² = i⁹ * -64 = 1*i * -64 = -64i

teraz już tylko sposobem szybkim:

b)
(2+2i)¹⁶*i¹⁰¹ = ((2+2i)²)⁸ * (i²)⁵⁰ * i = (4+8i -4)⁸ * (-1)⁵⁰ * i = (8i)⁸ * i = 8⁸ * i⁸ *i = 8⁸i

c) i²/(1-i)¹¹ = -1/[((1-i)²)⁵ * (1-i)] = -1/[(1-2i-1)⁵ * (1-i)] = -1/[(-2i)⁵ * (1-i)] = -1/[-32i⁵ * (1-i)] = -1/(-32i⁵+32i⁶) = -1/(-32i - 32) = -1/-32(1+i) = ¹/₃₂ * 1/(1+i).



Pierwiastkowanie podobnie lub też metodą trygonometryczną, gdzie wzór jest taki:
zk = |z|^(1/n) (cos[(φ+2kπ)/n] + isin[(φ+2kπ)/n]), gdzie k∈0,1,2...n-1

a) Nie korzystając z postaci trygonometrycznej...
wiemy, że szukamy liczby zespolonej (czyli "z"), "z" natomiast to nic innego jak (x+iy). Tak więc:
(x+iy)=√(i-√3)
(x+iy)²=i-√3
x²+2ixy-y²=i-√3

przyrównujemy części rzeczywiste do części rzeczywistych, a urojone do urojonych i mamy układ równań:
x²-y²=-√3
2ixy=i |:i

x²-y²=-√3
2xy=1

wystarczy go teraz rozwiązać... z drugiego równania wyliczamy x:

2xy=1 |:2y
x=1/(2*y)

i podstawiamy do pierwszego równania:
[1/(2*y)]²-y²=-√3
1²/(2*y)²-y²=-√3
1/4y² - y²=-√3

widzimy, że y≠0

wszystko na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
1/4y² - y²=-√3
1/4y² - y² + √3= 0
1/4y² - 4y⁴/4y² + 4√3y²/4y² = 0

(-4y⁴+4√3y²+1)/4y²=0

ułamek będzie równy zero gdy licznik będzie równy zero, więc szukamy takiego y (w zbiorze liczb rzeczywistych), że:

-4y⁴+4√3y²+1 = 0

rozwiązanie czegoś takiego nie jest proste więc przyjmijmy pod y²=t... wtedy mamy:

-4t²+4√3t+1 = 0

i mamy zwykłe równanie kwadratowe na deltę i pierwiastki
Δ=(4√3)²-4*(-4)*1
Δ=48+16=64
√Δ=8

t₁=(-4√3-8)/-8 = ½√3+1
t₂=(-4√3+8)/-8 = ½√3-1

patrząc teraz na to czym jest t widzimy:
y²=t

więc skoro y jest podniesiony do kwadratu, to nie może przyjmować on wartości ujemnych, a t₂ = ½√3-1 ≈ -0,134 więc przyjmujemy za prawdziwą wartość tylko t₁
y²=t₁

y²=½√3+1

więc:
y₁=√(½√3+1) albo y₂=-√(½√3+1)


teraz pozostaje wyliczyć "x" w zależności od obu przypadków:
x=1/(2*y)

x₁=1/(2*y₁)
x₁=1/(2*√(½√3+1))
x₁=1/√(2√3+4)

x₂=1/(2*y₂)
x₂=1/(2* -√(½√3+1))
x₂=-1/√(2√3+4)

skoro liczba z=(x+iy) to mamy dwa rozwiązania:

z₁=1/√(2√3+4)+ i√(½√3+1)
z₂=-1/√(2√3+4) - i√(½√3+1)








Teraz ten sam przykład "a", ale metodą trygonometryczną (bo ta niezbyt ładnie i krótko wygląda):

widzimy, że mamy pierwiastek drugiego stopnia z liczby zespolonej,więc n=2... do naszego wzoru, który na początku napisałem:

zk = |z|^(1/n) (cos[(φ+2kπ)/n] + isin[(φ+2kπ)/n]), gdzie k∈0,1,2...n-1

gdzie |z|^(1/n) to tylko pierwiastek n-tego stopnia z liczby z podstawiamy pod k najpierw "0", a następnie "1" i otrzymamy dwa wyniki (co się zgadza z poprzednim typem rozwiązania tego zadania):
Liczymy: √(i-√3)

|z|=√(1²+(-√3)²)=√1+3=√4=2
√|z|=√2

by obliczyć "φ" stawiamy punkt i-√3 na płaszczyźnie zespolonej:
http://i49.tinypic.com/25gawyf.png

Czyli widzimy, że powstał nam kąt 150⁰, w radianach to jest ⅚π:
φ=⅚π

z₀=√2 * (cos[(⅚π+2*0π)/2]+ isin[⅚π+2*0π)/2])
z₀=√2 * (cos(⅚π/2) + isin(⅚π/2))
z₀=√2 * (cos⁵/₁₂π+isin⁵/₁₂π)

Nie mam pojęcia ile wynosi cos⁵/₁₂π oraz sin⁵/₁₂π więc zasięgnę do tablic matematycznych: http://matma4u.akcja.pl/tablice/wft.htm

z₀=√2 * [(√6-√2)/4 + i(√6+√2)/4]
z₀=(√2*√6-√2*√2)/4 + i(√2*√6+√2*√2)/4
z₀=(√12-2)/4 + i(√12+2)/4
z₀=(2√3-2)/4 + i(2√3+2)/4
z₀=½√3-½ + (½√3+½)i



z₁=√2 * (cos[(⅚π+2*1π)/2] + isin[⅚π+2*1π)/2])
z₁=√2 * (cos(⅚π+2π)/2) + isin(⅚π+2π)/2))
z₁=√2 * (cos(⁵/₁₂π +π)+ isin(⁵/₁₂π +π))

cos(α+π) = -cosα oraz sin(α+π) = -sinα
z₁=√2 * -(cos(⁵/₁₂π) + isin(⁵/₁₂π))
z₁=√2 * -[(√6-√2)/4 + i(√6+√2)/4]
z₁=(-√2*√6+√2*√2)/4 + i(-√2*√6-√2*√2)/4
z₁=(-2√3+2)/4 + i(-2√3-2)/4,
z₁=-½√3+½ + (-½√3-½)i

tak więc nasze liczby zespolone to:
z₀=½√3-½ + (½√3+½)i
z₁=-½√3+½ + (-½√3-½)i

mimo, że nie wyglądają jak z₁ i z₂ z poprzedniego typu rozwiązywania to są dokładnie tym samym (sprawdziłem na kalkulatorze - oba wyniki są równe) więc wszystko jest ok.

Prawdę mówiąc nie wiem, która metoda jest prostsza... kolejne dwa przykłady zrobię poprzez postać trygonometryczną:

b) Zauważmy, że:
√(√3-i) = √(-i+√3) = √-(i-√3)
a ta postać różni się zaledwie minusem od poprzedniej rozwiązywanej - prawdę mówiąc można zgadnąć wynik na podstawie poprzednich rozwiązań... ale my to obliczymy:

|z|=2
√|z|=√2

znów mamy n=2, ale zmienia się kąt:
http://i50.tinypic.com/34zy6br.jpg
φ=330⁰=¹¹/₆π

liczymy z₀ i z₁ znów ze wzoru:
zk = |z|^(1/n) (cos[(φ+2kπ)/n] + isin[(φ+2kπ)/n])

z₀ = √2 * (cos[(¹¹/₆π+2*0*π)/2] + isin[(¹¹/₆π+2*0*π)/2])
z₀ = √2 * (cos[(¹¹/₆π)/2] + isin[(¹¹/₆π)/2])
z₀ = √2 * (cos(¹¹/₁₂π) + isin(¹¹/₁₂π))

W żadnych tablicach nie ma ile jest cos(¹¹/₁₂π) oraz isin(¹¹/₁₂π), ale wiemy, że ¹¹/₁₂π=π-¹/₁₂π

z₀ = √2 * (cos(π-¹/₁₂π) + isin(π-¹/₁₂π))

cos(π-α)=-cosα
sin(π-α)=sinα

z₀ = √2 * (-cos(¹/₁₂π) + isin(¹/₁₂π))

teraz już spokojnie sczytujemy z tablic:
http://matma4u.akcja.pl/tablice/wft.htm

tam jest błąd gdyż 15⁰=¹/₁₂π a nie π - więc 15⁰ to nasze szukane wartości:
z₀ = √2 * (-(√6-√2)/4 + i(√6+√2)/4)
z₀ = √2 * [(-√6+√2)/4 + i(√6+√2)/4]
z₀ = (-√6*√2+√2*√2)/4 + i(√6*√2+√2*√2)/4
z₀ = (-2√3+2)/4 + i(2√3+2)/4
z₀ = -½√3+½ + (½√3+½)i


z₁ = √2 * (cos[(¹¹/₆π+2*1*π)/2] + isin[(¹¹/₆π+2*1*π)/2])
z₁ = √2 * (cos[(¹¹/₆π+2π)/2] + isin[(¹¹/₆π+2π)/2])
z₁ = √2 * (cos[(¹¹/₆π+2π)/2] + isin[(¹¹/₆π+2π)/2])
z₁ = √2 * (cos(¹¹/₁₂π+π) + isin(¹¹/₁₂π+π)

cos(α+π)=-cosα
sin(α+π)=-sinα

z₁ = √2 * -(cos(¹¹/₁₂π)+isin(¹¹/₁₂π))
z₁ = √2 * -(cos(π-¹/₁₂π)+isin(π-¹/₁₂π))

cos(π-α)=-cosα
sin(π-α)=sinα

z₁ = √2 * (cos(¹/₁₂π) - isin(¹/₁₂π))
z₁ = √2 * [(√6-√2)/4 - i(√6+√2)/4]
z₁ = (√2*√6-√2*√2)/4 - i(√2*√6+√2*√2)/4
z₁ = (2√3-2)/4 - i(2√3+2)/4
z₁ = ½√3-½ - (½√3+½)i

tak więc:
z₀ = -½√3+½ + (½√3+½)i
z₁ = ½√3-½ - (½√3+½)i

widać, że wyniki są niemal identyczne jak z przykładu a) a tylko są zmienione znaki - o tym mówiłem wspominając, że możemy od razu zgadnąć wynik bez liczenia.


c) √(√3+1)
liczymy:

|z|=2
√|z|=√2

http://i46.tinypic.com/rkvsy8.jpg
φ=30⁰=⅙π

n=2 (bo ciągle zewnętrzny pierwiastek jest drugiego stopnia)

i przepiszę sobie wzór:
zk = |z|^(1/n) (cos[(φ+2kπ)/n] + isin[(φ+2kπ)/n])


z₀ = √2 * (cos[(⅙π+2*0*π)/2] + isin[(⅙π+2*0*π)/2])
z₀ = √2 * (cos[(⅙π)/2] + isin[(⅙π)/2])
z₀ = √2 * (cos(¹/₁₂π) + isin(¹/₁₂π))
z₀ = √2 * [(√6-√2)/4 + i(√6+√2)/4]
z₀ = (√2*√6-√2*√2)/4 + i(√2*√6+√2*√2)/4
z₀ = (2√3-2)/4 + i(2√3+2)/4
z₀ = ½√3-½ + (½√3+½)i

z₁ = √2 * (cos[(⅙π+2π)/2] + isin[(⅙π+2π)/2])
z₁ = √2 * (cos(¹/₁₂π+π) + isin(¹/₁₂π+π))

cos(α+π)=-cosα
sin(α+π)=-sinα

z₁ = √2 * -(cos(¹/₁₂π) + isin(¹/₁₂π))
z₁ = √2 * -[(√6-√2)/4 + i(√6+√2)/4]
z₁ = (-√6*√2+√2*√2)/4 +i(-√6*√2-√2*√2)/4
z₁ = (-2√3+2)/4 +i(-2√3-2)/4
z₁ = -½√3+½ - (+½√3+½)i

więc:
z₀ = ½√3-½ + (½√3+½)i
z₁ = -½√3+½ - (+½√3+½)i






Zad 1)
Zadanie pierwsze rozwiązujemy wykorzystując wzór na deltę i pierwiastki:

z₁=(-b-√Δ)/2a
z₂=(-b+√Δ)/2a

uwaga: może być też używane oznaczenie δ zamiast delty, gdzie δ²=Δ, a δ=√Δ To nie ma większego znaczenia

a)
z²+2z+3=0

a=1, b=2, c=3
Δ=b²-4ac = 2² - 4*1*3 = 4-12 = -8

delta wyszła ujemna, ale się tym nie przejmujemy bo mamy zbiór liczb zespolonych gdzie pierwiastki z liczb ujemnych istnieją:
Δ=-8 = (√8i)²
√Δ=√(√8i)² = √8i

z₁=(-b-√Δ)/2a = (-2 - √8i)/2
z₂=(-b+√Δ)/2a = (-2 + √8i)/2

b)
5z²+z+¼=0

a=5, b=1, c=¼
Δ=b²-4ac = 1² - 4*5*¼ = 1-5 = -4 = (√4i)²
√Δ=√4i

z₁=(-b-√Δ)/2a = (-1-√4i)/10
z₂=(-b+√Δ)/2a = (-1+√4i)/10

c) iz² -2z +3i = 0

a=i, b=-2, c=3i
Δ=b²-4ac = (-2)² -4*i*3i = 4 - 4*3i² = 4 - 12i² = 4+12 = 16
√Δ=4

z₁=(-b-√Δ)/2a = (2-4)/2i = -2/2i = -i
z₂=(-b+√Δ)/2a = (2+4)/2i = 6/2i = 3i



koniec wszystkich zadań.
1 5 1